Какова вероятность, что количество промахов из 50 выстрелов не превысит пять при вероятности промаха в одном выстреле

Radio

31

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово, используя три разные формулы: формулу Бернулли, формулу Муавра-Лапласа и формулу Пуассона.

1. Формула Бернулли:
Формула Бернулли применяется для нахождения вероятности успеха в серии независимых испытаний. В данной задаче нас интересует количество промахов из 50 выстрелов, поэтому можно считать, что каждый выстрел является независимым испытанием.

Вероятность успеха (попадания) в одном выстреле равна 0,9, так как вероятность промаха составляет 0,1.

Давайте рассмотрим две ситуации: 1) когда количество промахов равно нулю и 2) когда количество промахов равно пяти или менее.

1) Количество промахов равно нулю:
Вероятность нулевого количества промахов из 50 выстрелов можно найти с помощью формулы Бернулли:
\[P(X = 0) = C^{0}_{50} \cdot 0,1^{0} \cdot (1-0,1)^{50-0}\]
\[P(X = 0) = 1 \cdot 1 \cdot 0,9^{50}\]
\[P(X = 0) = 0,9^{50}\]

2) Количество промахов равно пяти или менее:
Чтобы найти вероятность, что количество промахов не превысит пять, мы будем складывать вероятности для каждого значения количества промахов от нуля до пяти. Используем формулу Бернулли для каждого значения и просуммируем результаты:
\[P(X \leq 5) = \sum_{k=0}^{5} C^{k}_{50} \cdot 0,1^{k} \cdot (1-0,1)^{50-k}\]
\[P(X \leq 5) = C^{0}_{50} \cdot 0,1^{0} \cdot (1-0,1)^{50-0} + C^{1}_{50} \cdot 0,1^{1} \cdot (1-0,1)^{50-1} + \ldots + C^{5}_{50} \cdot 0,1^{5} \cdot (1-0,1)^{50-5}\]

В этом случае нам будет проще воспользоваться формулой Муавра-Лапласа.

2. Формула Муавра-Лапласа:
Формула Муавра-Лапласа позволяет приближенно рассчитать вероятности биномиального распределения в случаях, когда количество испытаний велико.

Вероятность успеха (попадания) в одном выстреле равна 0,9, как и в предыдущей формуле. Для данной формулы нам понадобятся также математическое ожидание и стандартное отклонение.

Математическое ожидание (μ) можно найти по формуле:
\[μ = n \cdot p\]
где n - количество испытаний, p - вероятность успеха в одном испытании.

В нашей задаче n = 50, p = 0,9, поэтому:
\[μ = 50 \cdot 0,9 = 45\]

Стандартное отклонение (σ) можно найти по формуле:
\[σ = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}\]

В нашем случае:
\[σ = \sqrt{50 \cdot 0,9 \cdot (1-0,9)} = \sqrt{50 \cdot 0,9 \cdot 0,1} = \sqrt{4,5}\]

Теперь мы можем применить формулу Муавра-Лапласа для нахождения вероятности, что количество промахов не превысит пять:
\[P(X \leq 5) = \Phi\left(\frac{5 - 45}{\sqrt{4,5}}\right)\]
где \(\Phi(z)\) - стандартная нормальная функция распределения, а \(z\) - стандартизованное значение, полученное путем вычитания математического ожидания и деления на стандартное отклонение.

3. Формула Пуассона:
Формула Пуассона применяется для приближенного рассчета вероятности редкого события в случае, когда количество наблюдений велико, а вероятность события мала.

Вероятность промаха в одном выстреле составляет 0,1. Количество испытаний равно 50. При таких условиях событие "количество промахов не превысит пять" считается редким.

Мы можем использовать формулу Пуассона для оценки вероятности этого события:
\[P(X \leq 5) = \sum_{k=0}^{5} \frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^{k}}{k!}\]
где \(\lambda\) - среднее значение или интенсивность события, которое мы хотим приближенно оценить.

В нашем случае:
\(\lambda = n \cdot p = 50 \cdot 0,1 = 5\)

Подставляем значения в формулу и выполняем расчеты:
\[P(X \leq 5) = \frac{e^{-5} \cdot 5^{0}}{0!} + \frac{e^{-5} \cdot 5^{1}}{1!} + \frac{e^{-5} \cdot 5^{2}}{2!} + \frac{e^{-5} \cdot 5^{3}}{3!} + \frac{e^{-5} \cdot 5^{4}}{4!} + \frac{e^{-5} \cdot 5^{5}}{5!}\]

Таким образом, мы решили задачу о нахождении вероятности, что количество промахов из 50 выстрелов не превысит пять, используя формулу Бернулли, формулу Муавра-Лапласа и формулу Пуассона.