Какова вероятность, что радиоприемник, смонтированный из 9 деталей, не проработает, если вероятность дефекта одной

Pugayuschaya_Zmeya_8391

10

Для решения этой задачи будем использовать биномиальное распределение, так как каждая деталь может быть либо дефектной, либо исправной с известными вероятностями.

1. Вероятность того, что радиоприемник не проработает (откажет), можно найти как сумму вероятностей всех событий, при которых есть хотя бы одна дефектная деталь. Это равно 1 минус вероятность того, что все детали исправны. Таким образом, вероятность отказа можно выразить следующей формулой:

\[P(\text{отказ}) = 1 - P(\text{все детали исправны})\]

Вероятность того, что конкретная деталь исправна, равна 1 минус вероятность ее дефекта. Таким образом, вероятность того, что все детали исправны, можно выразить следующей формулой:

\[P(\text{все детали исправны}) = (1 - P(\text{дефект}))^9\]

Для данной задачи, где вероятность дефекта одной детали равна 0,05, мы можем найти вероятность отказа следующим образом:

\[P(\text{отказ}) = 1 - (1 - 0,05)^9\]

2. Чтобы найти вероятность того, что есть не менее двух дефектных деталей, мы можем взять вероятность отказа и вычесть из нее вероятность того, что есть одна или ни одной дефектной детали. Таким образом, вероятность данного события можно выразить следующей формулой:

\[P(\text{два и более дефектных деталей}) = P(\text{отказ}) - P(\text{не более одной дефектной детали})\]

Вероятность того, что не более одной дефектной детали, можно найти как сумма вероятностей следующих событий: ноль дефектных деталей и одна дефектная деталь. Таким образом, вероятность данного события можно выразить следующей формулой:

\[P(\text{не более одной дефектной детали}) = P(\text{ноль дефектных деталей}) + P(\text{одна дефектная деталь})\]

Для нахождения вероятности каждого из этих событий, мы можем использовать биномиальное распределение. Для нуля дефектных деталей вероятность будет равна:

\[P(\text{ноль дефектных деталей}) = (1 - P(\text{дефект}))^9\]

Для одной дефектной детали вероятность будет равна:

\[P(\text{одна дефектная деталь}) = 9 \times P(\text{дефект}) \times (1 - P(\text{дефект}))^8\]

Подставляя эти значения в формулу для вероятности не менее двух дефектных деталей, мы можем найти искомую вероятность.

3. Найдем вероятность следующих событий:

а) Вероятность отказа ровно 5 деталей можно выразить с помощью биномиального распределения:

\[P(\text{5 дефектных деталей}) = 9C5 \times P(\text{дефект})^5 \times (1 - P(\text{дефект}))^4\]

б) Вероятность того, что приемник будет работать, равна вероятности отсутствия отказа, то есть вероятности того, что все детали исправны:

\[P(\text{приемник будет работать}) = P(\text{все детали исправны})\]

в) Вероятность отказа ровно 5 деталей мы уже учли в пункте а). Таким образом, для нахождения вероятности отказа нам остается вычесть из единицы вероятность, что приемник будет работать:

\[P(\text{приемник откажет}) = 1 - P(\text{приемник будет работать})\]

Выраженные выше формулы позволят найти искомые вероятности. Вычислим их, используя данные условия задачи и формулы, и предоставим ответ.