Какова вероятность, что стрелку потребуется более трех выстрелов, чтобы попасть в мишень, если вероятность попадания

Dzhek

26

Чтобы решить эту задачу, нам необходимо использовать понятие биномиального распределения вероятности.

Итак, дано, что вероятность попадания при каждом выстреле составляет \(p = 0.8\). Мы хотим найти вероятность того, что нам потребуется более трех выстрелов, чтобы попасть в мишень.

Для начала, давайте определим, сколько выстрелов нам нужно, чтобы попасть в мишень. Поскольку вопрос говорит о том, что нам нужно более трех выстрелов, нам нужно рассмотреть случаи, когда нам потребуется 4 выстрела, 5 выстрелов, и так далее, до бесконечности.

Пусть \(X\) - случайная величина, которая представляет собой количество выстрелов, которое нам потребуется для попадания в мишень. Так как \(X\) - дискретная случайная величина, мы можем использовать биномиальное распределение вероятности для ее моделирования.

Вероятность успеха (попадания) при каждом выстреле составляет \(p=0,8\), а вероятность неудачи (промаха) составляет \(q=1-p=0,2\), где \(q\) - это 1 минус \(p\).

Функция вероятности биномиального распределения задается формулой:

\[P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}\]

Где \(\binom{n}{k}\) обозначает биномиальный коэффициент, равный количеству комбинаций из \(n\) элементов по \(k\).

Теперь мы можем вычислить вероятность того, что нам потребуется более трех выстрелов. Давайте сложим все вероятности от 4 до бесконечности.

\[P(X > 3) = P(X = 4) + P(X = 5) + \ldots\]

К счастью, суммировать все эти вероятности вручную довольно трудоемкая задача.

Давайте воспользуемся альтернативным методом для нахождения вероятности. Мы можем воспользоваться комплементарной вероятностью, то есть найти вероятность того, что потребуется не более трех выстрелов, и вычтем ее из единицы.

\[P(X > 3) = 1 - P(X \leq 3)\]

Теперь давайте найдем вероятность того, что потребуется не более трех выстрелов, используя функцию распределения биномиального распределения.

\[P(X \leq 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)\]

\[P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}\]

Подставим значения и вычислим:

\[P(X \leq 3) = \binom{3}{0} \cdot 0.8^0 \cdot 0.2^{3-0} + \binom{3}{1} \cdot 0.8^1 \cdot 0.2^{3-1} + \binom{3}{2} \cdot 0.8^2 \cdot 0.2^{3-2} + \binom{3}{3} \cdot 0.8^3 \cdot 0.2^{3-3}\]

Теперь давайте подсчитаем это:

\[P(X \leq 3) = 1 \cdot 1 \cdot 0.008 + 3 \cdot 0.8 \cdot 0.04 + 3 \cdot 0.64 \cdot 0.2 + 1 \cdot 0.512 \cdot 1\]

\[P(X \leq 3) = 0.008 + 0.096 + 0.384 + 0.512 = 1\]

Теперь мы можем вычислить вероятность того, что потребуется более трех выстрелов:

\[P(X > 3) = 1 - P(X \leq 3) = 1 - 1 = 0\]

Таким образом, вероятность того, что нам потребуется более трех выстрелов для попадания в мишень, равна 0.