Чему равны значения синуса, косинуса и тангенса углов АОВ и АОС, если А (1:0), В (1/4; корень из 15/4) и С (-1/2

Бельчонок

25

Чтобы решить эту задачу, нам нужно вычислить значения синуса, косинуса и тангенса для углов АОВ и АОС. Для этого мы должны использовать геометрию треугольников и измерения сторон.

Начнем с угла АОВ. Мы знаем, что АО - начало координат, следовательно, его координаты равны (0, 0). Точка В имеет координаты (1/4, √15/4). Теперь давайте нарисуем треугольник АОВ и проведем линии соединения между точками А, О и В.

[Диаграмма треугольника АОВ]

Теперь, чтобы найти значения синуса, косинуса и тангенса угла АОВ, нам нужно определить отношения сторон треугольника. Рассмотрим следующие формулы:

Синус угла АОВ: \(\sin(\angle AOV) = \frac{{BC}}{{AB}}\)
Косинус угла АОВ: \(\cos(\angle AOV) = \frac{{AC}}{{AB}}\)
Тангенс угла АОВ: \(\tan(\angle AOV) = \frac{{BC}}{{AC}}\)

Теперь найдем значения сторон треугольника. Для этого используем формулу расстояния между двумя точками в декартовой системе координат:

Расстояние между точками A и B: \(AB = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\)
Расстояние между точками A и C: \(AC = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\)
Расстояние между точками B и C: \(BC = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\)

Подставим значения координат и рассчитаем стороны:

\(AB = \sqrt{{(1/4 - 0)^2 + (\sqrt{{15/4}} - 0)^2}} = \sqrt{{1/16 + 15/4}} = \sqrt{{16/16}} = 1\)

\(AC = \sqrt{{(-1/2 - 0)^2 + (\sqrt{{3/2}} - 0)^2}} = \sqrt{{1/4 + 3/2}} = \sqrt{{5/4}} = \sqrt{{1.25}}\)

\(BC = \sqrt{{(1/4 + 1/2)^2 + (\sqrt{{15/4}} - \sqrt{{3/2}})^2}} = \sqrt{{9/4 + 7\sqrt{{15/4}}\sqrt{{3/2}} + 9/4}} = \sqrt{{18/4 + 7\sqrt{{45/4}}}} = \sqrt{{4.5 + 7\sqrt{{45/4}}}}\)

Теперь, подставив значения сторон в формулы синуса, косинуса и тангенса, мы можем рассчитать их значения:

Синус угла АОВ: \(\sin(\angle AOV) = \frac{{BC}}{{AB}} = \frac{{\sqrt{{18/4 + 7\sqrt{{45/4}}}}}}{{1}} = \sqrt{{18/4 + 7\sqrt{{45/4}}}}\)

Косинус угла АОВ: \(\cos(\angle AOV) = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{\sqrt{{1.25}}}}{{1}} = \sqrt{{1.25}}\)

Тангенс угла АОВ: \(\tan(\angle AOV) = \frac{{BC}}{{AC}} = \frac{{\sqrt{{18/4 + 7\sqrt{{45/4}}}}}}{{\sqrt{{1.25}}}} = \frac{{\sqrt{{18/4 + 7\sqrt{{45/4}}}}}}{{\sqrt{{5/4}}}} = \frac{{\sqrt{{18/4 + 7\sqrt{{45/4}}}}}}{{1.11803}}\)

Теперь перейдем к углу АОС. У точки С координаты (-1/2 , √3/2). Вычислим стороны треугольника АОС и подставим их значения в формулы для синуса, косинуса и тангенса, аналогично как мы сделали для угла АОВ.

Помните, что значение корня из 15/4 должно быть упрощено перед подстановкой в формулы.