Какова вероятность, что в течение времени t откажут: а) все 4 элемента; б) 3 элемента; в) 2 элемента; г) 1 элемент

Лисичка123

52

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово. Предположим, что вероятность отказа каждого элемента в течение времени \( t \) одинакова и равна \( p \).

a) Чтобы найти вероятность отказа всех 4 элементов, нужно умножить вероятности отказа каждого элемента:
\[ P(\text{все 4 элемента откажут}) = p \times p \times p \times p = p^4 \]

б) Чтобы найти вероятность отказа трех элементов, нужно сначала выбрать 3 элемента из 4-х для отказа, а затем умножить их вероятности:
\[ P(\text{3 элемента откажут}) = C_3^4 \cdot p \cdot p \cdot p \cdot (1 - p) = 4 \cdot p^3 \cdot (1 - p) \]

в) Чтобы найти вероятность отказа двух элементов, нужно выбрать 2 элемента из 4-х для отказа, а затем умножить их вероятности и вероятности работоспособности оставшихся элементов:
\[ P(\text{2 элемента откажут}) = C_2^4 \cdot p \cdot p \cdot (1 - p) \cdot (1 - p) = 6 \cdot p^2 \cdot (1 - p)^2 \]

г) Чтобы найти вероятность отказа одного элемента, нужно выбрать 1 элемент из 4-х для отказа, а затем умножить его вероятность и вероятности работоспособности оставшихся элементов:
\[ P(\text{1 элемент откажет}) = C_1^4 \cdot p \cdot (1 - p) \cdot (1 - p) \cdot (1 - p) = 4 \cdot p \cdot (1 - p)^3 \]

д) Чтобы найти вероятность того, что ни один элемент не откажет, нужно умножить вероятности работоспособности каждого элемента:
\[ P(\text{ни один элемент не откажет}) = (1 - p) \cdot (1 - p) \cdot (1 - p) \cdot (1 - p) = (1 - p)^4 \]

е) Чтобы найти вероятность того, что откажут не более двух элементов, нужно сложить вероятности отказа всех 4 элементов, отказа трех элементов, отказа двух элементов и отказа одного элемента:
\[ P(\text{откажут не более 2 элементов}) = P(\text{все 4 элемента откажут}) + P(\text{3 элемента откажут}) + P(\text{2 элемента откажут}) + P(\text{1 элемент откажет}) \]
\[ P(\text{откажут не более 2 элементов}) = p^4 + 4 \cdot p^3 \cdot (1 - p) + 6 \cdot p^2 \cdot (1 - p)^2 + 4 \cdot p \cdot (1 - p)^3 \]

Таким образом, мы нашли вероятности отказа всех возможных комбинаций числа элементов.