Какова вероятность нормальной работы устройства, если его составляют три элемента (s1, s2 и s3), каждый из которых

Магический_Замок

51

Чтобы решить данную задачу, мы можем использовать метод комбинаторики. Представим, что у нас есть три элемента: s1, s2 и s3. Каждый из них может отказать с вероятностью p.

У нас есть два случая, когда система может нарушить свою работу:

1) Все три элемента могут отказать.
2) Меньше трех элементов откажет, и система будет функционировать нормально.

Для первого случая вероятность можно выразить как произведение вероятностей отказа каждого элемента:
\[P(\text{{отказ всех элементов}}) = p \cdot p \cdot p = p^3\]

Для второго случая мы должны рассмотреть все возможные комбинации числа отказавших элементов: 2 элемента могут отказать и 1 элемент может отказать. Перед этим, давайте найдем вероятность, что каждый элемент работает нормально:
\[P(\text{{работа каждого элемента}}) = (1-p) \cdot (1-p) \cdot (1-p) = (1-p)^3\]

Теперь рассмотрим комбинации:

1) Два элемента отказывают и один элемент работает:
\[P(\text{{2 элемента отказывают, 1 работает}}) = (1-p) \cdot (1-p) \cdot p\]

2) Один элемент отказывает и два элемента работают:
\[P(\text{{1 элемент отказывает, 2 работают}}) = (1-p) \cdot p \cdot (1-p)\]

Теперь сложим все вероятности со второго случая, чтобы учесть все возможные комбинации:
\[P(\text{{всего 2 или менее отказов}}) = P(\text{{2 элемента отказывают, 1 работает}}) + P(\text{{1 элемент отказывает, 2 работают}})\]
\[P(\text{{всего 2 или менее отказов}}) = (1-p) \cdot (1-p) \cdot p + (1-p) \cdot p \cdot (1-p)\]

Теперь, чтобы найти вероятность нормальной работы системы, нам нужно сложить вероятности из первого и второго случаев:
\[P(\text{{нормальная работа системы}}) = P(\text{{отказ всех элементов}}) + P(\text{{всего 2 или менее отказов}})\]
\[P(\text{{нормальная работа системы}}) = p^3 + (1-p) \cdot (1-p) \cdot p + (1-p) \cdot p \cdot (1-p)\]

Это и есть ответ на задачу о вероятности нормальной работы устройства, состоящего из трех элементов.