Какова вероятность обнаружения двух или более из 3000 метеоритов, которые упали на Землю, если вероятность обнаружения

Сергей

46

Для решения данной задачи мы можем использовать биномиальное распределение.

Вероятность обнаружения каждого метеорита составляет 0,0001. Поскольку вероятности обнаружения метеоритов являются независимыми, мы можем использовать формулу биномиального распределения, чтобы найти вероятность обнаружения двух или более из 3000 метеоритов.

Формула биномиального распределения выглядит следующим образом:

\[P(X=k) = C(n,k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\]

где:
- \(P(X=k)\) - вероятность того, что будет обнаружено k метеоритов
- \(C(n,k)\) - количество комбинаций из n метеоритов, выбранных k раз (обозначается как "n по k" или \(\binom{n}{k}\))
- \(p\) - вероятность обнаружения каждого метеорита
- \(k\) - количество обнаруженных метеоритов
- \(n\) - общее количество метеоритов

Мы хотим найти вероятность обнаружения двух или более метеоритов, поэтому нам нужно сложить вероятности обнаружения 2, 3, 4 и так далее метеоритов.

\[P(X\geq2) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + \ldots\]

Подставим наши значения в формулу и рассчитаем вероятность:

\[p = 0,0001\]
\[n = 3000\]

Чтобы упростить расчеты, можно воспользоваться формулой комплементарной вероятности:

\[P(X\geq2) = 1 - P(X<2)\]

Рассчитаем первую часть формулы:

\[P(X<2) = P(X=0) + P(X=1)\]

Теперь рассчитаем каждую вероятность отдельно:

\[P(X=k) = C(n,k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\]

\[P(X=0) = C(3000,0) \cdot (0,0001)^0 \cdot (1-0,0001)^{3000-0}\]

\[P(X=1) = C(3000,1) \cdot (0,0001)^1 \cdot (1-0,0001)^{3000-1}\]

Теперь рассчитаем эти значения:

\[P(X=0) = 1 \cdot 1 \cdot (0,9999)^{3000}\]
\[P(X=1) = 3000 \cdot 0,0001 \cdot (0,9999)^{2999}\]

Теперь мы можем рассчитать \(P(X<2)\):

\[P(X<2) = P(X=0) + P(X=1)\]

Теперь рассчитаем \(P(X\geq2)\) с использованием формулы комплементарной вероятности:

\[P(X\geq2) = 1 - P(X<2)\]

Таким образом, мы получаем итоговую вероятность обнаружения двух или более из 3000 метеоритов на Земле.