Какова вероятность ошибки третьего контролера при определении химического состава продукта, если вероятности

Ястребка

69

Для решения этой задачи мы можем использовать метод условной вероятности. Нам нужно найти вероятность ошибки третьего контролера при условии, что два из трех проб были правильно определены.
Возьмем событие A - "Химический состав правильно определен для 2 проб", а событие B - "Третий контролер совершает ошибку".
Нам известны вероятности правильного определения каждого контролера:
P(A1) = 4/5 - вероятность правильного определения первого контролера,
P(A2) = 3/4 - вероятность правильного определения второго контролера,
P(A3) = 2/3 - вероятность правильного определения третьего контролера.

Мы знаем, что две пробы были правильно определены, поэтому рассмотрим два варианта:
1) Первая и вторая пробы были правильно определены, третья проба была неправильно определена.
2) Первая и третья пробы были правильно определены, вторая проба была неправильно определена.

Рассмотрим первый вариант:
P(A1 ∩ A2 ∩ B) = P(A1) * P(A2) * P(B|A1 ∩ A2) - вероятность, что первая и вторая пробы были правильно определены, третья проба неправильно определена
P(A1 ∩ A2 ∩ B) = (4/5) * (3/4) * (1 - 2/3) - вероятность ошибки третьего контролера при правильном определении двух проб

Теперь рассмотрим второй вариант:
P(A1 ∩ A3 ∩ B) = P(A1) * P(A3) * P(B|A1 ∩ A3) - вероятность, что первая и третья пробы были правильно определены, вторая проба неправильно определена
P(A1 ∩ A3 ∩ B) = (4/5) * (2/3) * (1 - 3/4) - вероятность ошибки третьего контролера при правильном определении двух проб

Теперь сложим результаты этих двух вариантов, чтобы получить общую вероятность ошибки третьего контролера при условии, что две пробы были правильно определены:
P(B|A) = P(A1 ∩ A2 ∩ B) + P(A1 ∩ A3 ∩ B)

Подставим значения и произведем вычисления:
P(B|A) = (4/5) * (3/4) * (1 - 2/3) + (4/5) * (2/3) * (1 - 3/4)
P(B|A) = 2/5

Итак, вероятность ошибки третьего контролера при определении химического состава продукта, если вероятности правильного определения для каждого из трех контролеров равны 4/5, 3/4 и 2/3, и при одновременном контроле 3 проб химический состав оказался правильно определенным для 2 проб, составляет 2/5.