Какова вероятность получить определенное количество попаданий в цель из шести выстрелов, если вероятность попадания

Basya

10

Конечно, я могу помочь вам с решением данной задачи о вероятности получить определенное количество попаданий в цель из шести выстрелов, при условии, что вероятность попадания при одном выстреле одинаковая.

Для решения данной задачи нам потребуется использовать биномиальное распределение. Формула для биномиального распределения следующая:

\[ P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \],

где:
- \( P(X = k) \) - вероятность получить ровно k попаданий,
- \( n \) - количество попыток (в нашем случае это количество выстрелов),
- \( k \) - количество попаданий,
- \( p \) - вероятность попадания при одной попытке (в нашем случае, эта вероятность одинакова для всех выстрелов).

В нашем случае, у нас есть 6 выстрелов, и вероятность попадания при одном выстреле одинаковая. Нам нужно найти вероятность получить определенное количество попаданий.

Предположим, нам нужно найти вероятность получить 3 попадания (k = 3). Применим формулу биномиального распределения:

\[ P(X = 3) = \binom{6}{3} \cdot p^3 \cdot (1-p)^{6-3} \].

В формуле мы используем коэффициент биномиального коэффициента \(\binom{n}{k}\), который равен:

\[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \],

где:
- \( n! \) - факториал числа n,
- \( k! \) - факториал числа k,
- \( (n-k)! \) - факториал разности n и k.

Для нашего примера, где n = 6 и k = 3, формула примет следующий вид:

\[ \binom{6}{3} = \frac{6!}{3!(6-3)!} \].

Рассчитаем это:

\[ \binom{6}{3} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20 \].

Теперь, зная, что вероятность попадания при одном выстреле одинаковая (пусть она будет равна 0.5), мы можем подставить значения в формулу биномиального распределения:

\[ P(X = 3) = 20 \cdot 0.5^3 \cdot (1-0.5)^{6-3} \].

Рассчитаем это:

\[ P(X = 3) = 20 \cdot 0.5^3 \cdot 0.5^3 = 20 \cdot 0.125 \cdot 0.125 = 0.25 \].

Итак, вероятность получить 3 попадания из 6 выстрелов при одинаковой вероятности попадания равна 0.25.

Аналогичным образом, вы можете использовать эту формулу для определения вероятности получить любое другое количество попаданий в зависимости от ваших потребностей. Просто замените значение k в формуле и выполните необходимые вычисления.