What is the root of the equation 3log81(8x+8)=4?

Tropik

48

Для начала давайте преобразуем уравнение \(3\log_{81}(8x+8) = 4\) к более простому виду. Мы знаем, что \(\log_{81}(8x+8)\) можно переписать как \(\frac{\log(8x+8)}{\log(81)}\), где основание логарифма может быть записано как 3 в степени 4, потому что \(81 = 3^4\). Таким образом, уравнение становится \(3\cdot\frac{\log(8x+8)}{\log(3^4)} = 4\).

Далее, мы можем упростить это уравнение, заметив, что \(\log(3^4) = 4\log(3)\). Подставляя это в уравнение, получим \(3\cdot\frac{\log(8x+8)}{4\log(3)} = 4\).

Упрощаем дальше, деля обе стороны на 3: \(\frac{\log(8x+8)}{4\log(3)} = \frac{4}{3}\).

Теперь избавимся от деления, умножив обе стороны на \(4\log(3)\): \(\log(8x+8) = \frac{16}{3}\log(3)\).

Далее, используем свойство логарифмов, при котором \(\log(a^b) = b\log(a)\), чтобы переписать логарифм: \(\log(8x+8) = \log(3^{\frac{16}{3}})\).

Теперь зная, что логарифм и экспонента являются обратными операциями, мы можем избавиться от логарифма и получить: \(8x+8 = 3^{\frac{16}{3}}\).

Наконец, решим это уравнение для \(x\): \[8x+8 = 3^{\frac{16}{3}}\]
\[8x = 3^{\frac{16}{3}} - 8\]
\[x = \frac{3^{\frac{16}{3}} - 8}{8}\]

Таким образом, корень уравнения \(3\log_{81}(8x+8) = 4\) равен \(\frac{3^{\frac{16}{3}} - 8}{8}\).