Какова вероятность того, что автомобиль остановится перед первым светофором? Каково математическое ожидание числа

Busya

37

Чтобы решить данную задачу, нам понадобится некоторая информация. Давайте предположим, что на участке дороги, по которому движется автомобиль, установлены 6 светофоров. Вероятность остановиться перед каждым из них одинакова и составляет 0.3. Мы хотим найти вероятность того, что автомобиль остановится перед первым светофором.

Чтобы найти эту вероятность, мы можем воспользоваться обратной вероятностью. Обратная вероятность того, что автомобиль не остановится перед первым светофором, будет равна вероятности того, что автомобиль пройдет мимо каждого светофора. Так как вероятность пройти мимо каждого светофора составляет 0.7 (поскольку это комплиментарная вероятность остановиться), мы можем умножить эти вероятности друг на друга, чтобы найти обратную вероятность.

Обратная вероятность:
\[P(\text{автомобиль остановится перед первым светофором}) = 1 - (0.7)^6 \approx 0.895\]

Таким образом, вероятность остановки перед первым светофором составляет около 0.895.

Теперь перейдем к математическому ожиданию числа светофоров, пройденных машиной до первой остановки. Для этого мы можем воспользоваться формулой математического ожидания для дискретной случайной величины.

Математическое ожидание (M):
\[M = \sum_{n=1}^{6} n \cdot P(\text{автомобиль остановится перед $n$-ым светофором})\]

Здесь \(n\) - количество светофоров, которые автомобиль пройдет перед остановкой, а \(P(\text{автомобиль остановится перед $n$-ым светофором})\) - вероятность остановки перед \(n\)-ым светофором.

Выполним подсчеты по формуле для каждого значения \(n\) от 1 до 6:

\[M = 1 \cdot P(\text{автомобиль остановится перед первым светофором}) + 2 \cdot P(\text{автомобиль остановится перед вторым светофором}) + \ldots + 6 \cdot P(\text{автомобиль остановится перед шестым светофором})\]

\[M = 1 \cdot (0.895) + 2 \cdot (0.105) + 3 \cdot (0) + 4 \cdot (0) + 5 \cdot (0) + 6 \cdot (0) = 1.895\]

Таким образом, математическое ожидание числа светофоров, пройденных машиной до первой остановки, равно 1.895.

Наконец, рассчитаем стандартное отклонение данной случайной величины. Для этого мы воспользуемся формулой стандартного отклонения:

Стандартное отклонение (σ):
\[\sigma = \sqrt{\sum_{n=1}^{6} (n - M)^2 \cdot P(\text{автомобиль остановится перед $n$-ым светофором})}\]

Выполним подсчеты по формуле для каждого значения \(n\) от 1 до 6:

\[\sigma = \sqrt{(1 - 1.895)^2 \cdot (0.895) + (2 - 1.895)^2 \cdot (0.105) + (3 - 1.895)^2 \cdot 0 + (4 - 1.895)^2 \cdot 0 + (5 - 1.895)^2 \cdot 0 + (6 - 1.895)^2 \cdot 0} = 0.788\]

Таким образом, стандартное отклонение этой случайной величины составляет приблизительно 0.788.

В итоге, вероятность того, что автомобиль остановится перед первым светофором составляет около 0.895, математическое ожидание числа светофоров, пройденных машиной до первой остановки, равно 1.895, а стандартное отклонение этой случайной величины составляет примерно 0.788.