Какова вероятность того, что четыре последние цифры номера кредитной карты будут состоять из двух групп

Яхонт

14

Чтобы решить задачу, давайте вначале определим общее количество возможных комбинаций четырех последних цифр номера кредитной карты.

На каждую позицию четырехцифрового номера кредитной карты может быть выбрана любая из 10 возможных цифр (от 0 до 9). Таким образом, имеется 10 возможных вариантов для первой цифры, 10 возможных вариантов для второй цифры, 10 возможных вариантов для третьей цифры и 10 возможных вариантов для четвертой цифры. Общее количество комбинаций будет равно произведению этих чисел:

\(10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10,000.\)

Теперь нам нужно определить количество комбинаций, удовлетворяющих условию, то есть содержащих две различные цифры в каждой из двух групп.

Рассмотрим первую группу цифр. У нас есть 10 возможных цифр, из которых нужно выбрать две различные. Количество способов выбора двух различных цифр из 10 равно числу сочетаний из 10 по 2, обозначаемому как \(\binom{10}{2}.\)

Аналогично, для второй группы цифр мы также имеем 10 возможных цифр, из которых нужно выбрать две различные. Количество способов выбора двух различных цифр из 10 равно \(\binom{10}{2}.\)

Чтобы найти общее количество комбинаций, удовлетворяющих условию, нужно перемножить количество способов выбора двух различных цифр для первой и второй групп:

\(\binom{10}{2} \times \binom{10}{2}.\)

Подставляя числовые значения:

\(\binom{10}{2} \times \binom{10}{2} = \frac{10!}{2!8!} \times \frac{10!}{2!8!} = \frac{10! \times 10!}{(2! \times 8!)^2}.\)

Теперь, чтобы найти вероятность искомого события, нужно разделить количество комбинаций, удовлетворяющих условию, на общее количество возможных комбинаций:

\(\text{Вероятность} = \frac{\frac{10! \times 10!}{(2! \times 8!)^2}}{10,000}.\)

Нам остается только вычислить эту вероятность, используя калькулятор или программу для вычисления факториалов чисел и арифметические операции.