Какой будет остаток от деления на 84 суммы всех трехзначных четных чисел, которые меньше 237 и делятся

Zmey

22

Нам нужно найти остаток от деления на 84 суммы всех трехзначных четных чисел, которые меньше 237 и делятся на 11.

Давайте сначала найдем все трехзначные четные числа. Трехзначные числа начинаются с 100 и заканчиваются на 999. Для простоты решения, мы можем сначала поделить 999 на 2, чтобы найти самое большое трехзначное четное число:

\[
\frac{{999}}{{2}} = 499.5
\]

Следовательно, самое большое трехзначное четное число равно 498. Теперь давайте найдем самое маленькое трехзначное четное число:

\[
\frac{{100}}{{2}} = 50
\]

Таким образом, самое маленькое трехзначное четное число равно 100.

Теперь, имея самое большое и самое маленькое трехзначное четные числа, мы можем составить арифметическую прогрессию, где каждый элемент равен следующему четному числу. Используя формулу для суммы арифметической прогрессии, мы можем найти сумму всех трехзначных четных чисел:

\[
S = \frac{{n \cdot (a_1 + a_n)}}{2}
\]

Где:
- \(S\) - сумма всех трехзначных четных чисел
- \(n\) - количество элементов в прогрессии
- \(a_1\) - первый элемент прогрессии
- \(a_n\) - последний элемент прогрессии

В нашем случае, \(a_1 = 100\), \(a_n = 498\) и \(n\) можно найти, разделив разницу между \(a_n\) и \(a_1\) на 2 и добавив 1:

\[
n = \frac{{a_n - a_1}}{2} + 1
\]

\[
n = \frac{{498 - 100}}{2} + 1 = 200
\]

Таким образом, у нас есть 200 трехзначных четных чисел.

Теперь, чтобы найти сумму всех этих чисел:

\[
S = \frac{{200 \cdot (100 + 498)}}{2} = 49800
\]

Теперь давайте найдем остаток от деления этой суммы на 84:

\[
49800 \mod 84 = 6
\]

Ответ: остаток от деления на 84 суммы всех трехзначных четных чисел, которые меньше 237 и делятся на 11, равен 6.