Какова вероятность того, что два определенных лица останутся без места, когда десять человек рандомно займут семь

Koko

6

Для решения этой задачи нам потребуется применить комбинаторику и принципы вероятности. Давайте разберемся по шагам.

1. Для начала, чтобы определить всевозможные способы размещения 10 человек на 7 стульях, воспользуемся принципом комбинаторики "размещение без повторений". В этом случае, порядок размещения имеет значение, так как два лица - специфические.

Обозначим:
- число специфических лиц, которые должны остаться без места, как \(m = 2\);
- число имеющихся стульев, на которые должны быть размещены 10 человек, как \(n = 7\).

Тогда число возможных вариантов размещения 10 человек на 7 стульях равно
\(\frac{{n!}}{{(n-m)!}} = \frac{{7!}}{{(7-2)!}} = \frac{{7!}}{{5!}} = 7 \cdot 6 = 42\).

2. Теперь обратимся к расчету количества благоприятных исходов - то есть число способов, при которых лица останутся без места. Для этого рассмотрим случай, когда оба специфических лица садятся на один и тот же стул. В этом случае, число благоприятных исходов равно 1, так как специфические лица могут быть только на одном конкретном стуле одновременно.

3. Теперь мы можем вычислить вероятность того, что два определенных лица останутся без места, используя формулу вероятности:

\[ P = \frac{{\text{{число благоприятных исходов}}}}{{\text{{общее число возможных исходов}}}} \]

Таким образом, вероятность того, что два определенных лица останутся без места, равна

\[ P = \frac{1}{42} \approx 0.0238 \]

4. Теперь рассмотрим вторую часть задачи, где нам нужно найти вероятность того, что все четыре определенных лица сядут на стулья.

Аналогично предыдущему шагу, рассчитаем число возможных вариантов размещения 10 человек на 7 стульях, которое уже равно 42.

5. Чтобы определить число благоприятных исходов, при которых все четыре определенных лица сядут на стулья, можно рассматривать их как одну группу, которую нужно поместить на стулы. Тогда количество благоприятных исходов будет равно числу способов размещения этой группы из 4 человек на 7 стульях. Это может быть вычислено с использованием формулы размещений без повторений:

\[ \frac{{n!}}{{(n-m)!}} = \frac{{7!}}{{(7-4)!}} = \frac{{7!}}{{3!}} = 7 \cdot 6 \cdot 5 = 210 \]

6. Теперь можем вычислить вероятность того, что все четыре определенных лица сядут на стулья:

\[ P = \frac{{\text{{число благоприятных исходов}}}}{{\text{{общее число возможных исходов}}}} = \frac{{210}}{{42}} = 5 \]

Получаем, что вероятность того, что все четыре определенных лица сядут на стулья, равна 5.