Какова вероятность того, что две случайно выбранные точки на окружности будут находиться на расстоянии, меньшем

Ветерок

5

Чтобы решить эту задачу, нам нужно понять, как выбираются случайные точки на окружности и каково общее количество возможных положений этих точек. Разберемся с этими понятиями пошагово.

Шаг 1: Понимание выбора случайных точек на окружности
Когда мы говорим о случайных точках на окружности, мы предполагаем равномерное распределение точек вдоль окружности. Это означает, что вероятность выбора точки в любом конкретном сегменте окружности пропорциональна длине этого сегмента.

Шаг 2: Количество возможных положений точек
Мы предполагаем, что окружность имеет радиус $r$. Мы можем выбрать первую точку на окружности без потери общности (т.е. без ограничения общности) и считать ее зафиксированной. Теперь мы выбираем вторую точку на окружности. Представим, что мы начинаем от первой точки и движемся по окружности вокруг нее. Можно заметить, что вместо перехода от первой точки к второй, мы фактически определяем дугу на окружности между ними. Эта дуга может быть любой длины от 0 до окружности целиком.

Шаг 3: Определение вероятности выбора точек на расстоянии меньше радиуса
Теперь рассмотрим случай, когда вторая точка выбирается так, чтобы расстояние между первой и второй точкой было меньше радиуса окружности $r$. Нам нужно посчитать длину всех возможных дуг на окружности, для которых это условие выполняется.

Важным замечанием является то, что если первая точка находится на краю окружности, то для любой дуги длиной меньше половины окружности будет верно условие, что расстояние между точками меньше радиуса.

Таким образом, всего существует две возможности:
1. Первая точка находится на краю окружности.
2. Первая точка находится внутри окружности.

Посмотрим на каждую возможность по отдельности.

Вариант 1: Первая точка находится на краю окружности
Для этого случая, любая дуга длиной меньше половины окружности соответствует условию, что расстояние между точками меньше радиуса. Для нахождения вероятности этого случая, нам нужно вычислить длину такой дуги и разделить ее на полную длину окружности.

Полная длина окружности равна $2\pi r$ (где $\pi$ - это число пи). Длина дуги на окружности, соответствующей углу $\theta$ в радианах, можно рассчитать, используя формулу:

$$Длинадуги=\theta \cdot r$$

Для задачи, где расстояние между точками должно быть меньше радиуса, угол $\theta$ будет равен $2\pi$, так как весь круг является допустимым. Следовательно, длина дуги будет равна:

$$Длинадуги=2\pi \cdot r$$

Итак, вероятность выбора двух точек на окружности, если первая точка находится на краю окружности, будет равна:

$$Вероятност{ь}_1=\frac{2\pi \cdot r}{2\pi \cdot r}=1$$

Вариант 2: Первая точка находится внутри окружности
В этом случае, чтобы выбрать точку на расстоянии меньше радиуса от первой точки, мы можем представить окружность, вокруг первой точки, радиусом $r$. Теперь нам нужно выбрать точку на внутренней окружности.

Для вычисления вероятности этого случая, нам нужно снова рассматривать длины дуг на внутренней окружности.

Первая точка, выбранная случайным образом внутри основной окружности, будет находиться на расстоянии, меньшем, чем $r$ от центра основной окружности. Расстояние между этой случайно выбранной точкой и центром окружности будет обозначено $d$.

Так как мы представляем окружность, вокруг первой точки, радиусом $r$, мы можем рассмотреть случай, когда вторая точка выбирается на внутренней окружности. Длина дуги на внутренней окружности, лежащей в пределах $[0,d]$, будет равна $d$.

Теперь мы должны учесть, что вероятность выбора точки внутри основной окружности следует делить на вероятность выбора точки внутри окружности радиусом $r$, чтобы нормализовать ее.

Полная длина окружности внутренней окружности равна $2\pi d$ и полная длина окружности основной окружности равна $2\pi r$. Отсюда следует, что вероятность выбора точки на внутренней окружности равна $\frac{d}{r}$.

Теперь мы можем записать общую вероятность для этого случая:

$$Вероятност{ь}_2=\frac{d}{r}\cdot \frac{1}{2\pi }$$

Шаг 4: Суммирование вероятностей
Наконец, мы можем сложить вероятности двух случаев, чтобы найти общую вероятность выбора двух точек на окружности, находящихся на расстоянии меньше радиуса:

$$Общаявероятность=Вероятност{ь}_1+Вероятност{ь}_2=1+\frac{d}{r}\cdot \frac{1}{2\pi }$$

Вот и все! Теперь у нас есть общая вероятность для заданной ситуации. Прошу обратить внимание на то, что вторая вероятность можно выразить через расстояние $d$ между случайно выбранными точками и радиусом $r$ основной окружности. Вероятность будет зависеть от этого отношения.