Какова вероятность того, что из 1000 отобранных и высаженных зерен взойдет не менее 700 штук, учитывая, что 90% зерен

Yabloko

4

Чтобы решить эту задачу, нам понадобятся знания о теории вероятности и комбинаторике. Давайте разберемся пошагово.

Шаг 1: Вычисление вероятности для отдельного зерна
Известно, что 90% зерен всходит. Это означает, что вероятность того, что одно зерно высадится успешно, равна 0.9 (или 90%). Соответственно, вероятность неуспешного всхожести зерна составляет 0.1 (или 10%).

Шаг 2: Расчет вероятности для 1000 зерен
Так как всхожесть каждого зерна является независимым событием, мы можем использовать биномиальное распределение для определения вероятности успешной всхожести заданного количества зерен.

Формула для биномиального распределения:
\[P(X=k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\]
где
- \(P(X=k)\) - вероятность того, что k зерен успешно всходят,
- \(C_n^k\) - число сочетаний из n по k (определяется формулой: \(C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}\)),
- \(p\) - вероятность успеха (в нашем случае 0.9),
- \(n\) - общее число испытаний (в нашем случае 1000).

Теперь мы можем приступить к вычислению.

Шаг 3: Вычисление вероятности для не менее 700 зерен
Мы должны найти вероятность того, что из 1000 зерен будет успешно всхоже не менее 700 штук. Это означает, что нам нужно найти сумму вероятностей для 700, 701, 702 и так далее до 1000 зерен. Мы можем использовать сумму или подходящее нам приближение.

В данном случае для точного решения задачи потребуется найти вероятности для всех значений от 700 до 1000 и сложить их. Но такой подсчет может быть довольно сложным и занимать много времени.

Однако, мы можем воспользоваться нормальным приближением (центральной предельной теоремой), что позволит нам облегчить вычисления.

Шаг 4: Применение нормального приближения
Для применения нормального приближения нам потребуется вычислить математическое ожидание и стандартное отклонение исходного биномиального распределения.

Математическое ожидание биномиального распределения:
\(\mu = n \cdot p\)

Стандартное отклонение биномиального распределения:
\(\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}\)

Подставим значения:
\(\mu = 1000 \cdot 0.9 = 900\)
\(\sigma = \sqrt{1000 \cdot 0.9 \cdot 0.1} \approx 9.49\)

Шаг 5: Использование нормального распределения
Теперь мы можем использовать нормальное распределение для приближенного вычисления вероятности.

Вероятность того, что из 1000 зерен взойдет не менее 700 штук, можно приближенно вычислить с использованием функции нормального распределения:
\[P(X \geq 700) \approx 1 - P(X < 700)\]
\[P(X < 700) = P\left(Z < \frac{700-900}{9.49}\right)\]
Здесь \(Z\) - стандартная нормально распределенная случайная величина.

Мы можем использовать таблицы стандартного нормального распределения или калькулятор для определения этой вероятности. Подставим значения в уравнение и вычислим:

\[P(X < 700) = P(Z < -21.1) \approx 0\]

И, наконец, воспользуемся формулой вероятности:
\[P(X \geq 700) = 1 - P(X < 700) \approx 1 - 0 = 1\]

Таким образом, вероятность того, что из 1000 отобранных и высаженных зерен взойдет не менее 700 штук, составляет приблизительно 1 или 100%. Это означает, что очень высокую вероятность можно ожидать того, что большинство зерен успешно всхожи при таких условиях.