Какова вероятность того, что из 200 изделий не более двух окажутся разбитыми, если вероятность разбития одного изделия

Рак

67

Чтобы решить эту задачу, нам нужно использовать биномиальное распределение и нахождение вероятности успеха.

В данной задаче успехом будет считаться то, что изделие разбито, а неудачей - то, что изделие не разбито.

Вероятность успеха (то есть вероятность разбития одного изделия) равна 0.005.

Пусть \(X\) - количество разбитых изделий среди 200.

Так как каждое изделие может быть разбитым или не разбитым, у нас есть только два возможных исхода: успех или неудача. Это биномиальный эксперимент.

Формула для вероятности успеха в биномиальном распределении выглядит следующим образом:

\[P(X=k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\]

Где:
\(P(X=k)\) - вероятность получить \(k\) успехов,
\(C_n^k\) - количество сочетаний из \(n\) по \(k\),
\(p\) - вероятность успеха (вероятность разбития одного изделия),
\(n\) - количество экспериментов (количество изделий).

В нашем случае, нам нужно найти вероятность, что не более двух изделий окажутся разбитыми. Это означает, что мы должны найти вероятности для \(X=0\), \(X=1\) и \(X=2\) и их сложить, потому что это исключающие события (только одно из них может произойти).

Теперь рассмотрим каждый случай по отдельности:

1. \(X=0\):
Подставим \(k=0\) в формулу вероятности успеха и рассчитаем вероятность:

\[P(X=0) = C_{200}^0 \cdot 0.005^0 \cdot (1-0.005)^{200-0}\]
\[P(X=0) = 1 \cdot 1 \cdot (0.995)^{200}\]

2. \(X=1\):
Подставим \(k=1\) в формулу вероятности успеха и рассчитаем вероятность:

\[P(X=1) = C_{200}^1 \cdot 0.005^1 \cdot (1-0.005)^{200-1}\]
\[P(X=1) = 200 \cdot 0.005 \cdot (0.995)^{199}\]

3. \(X=2\):
Подставим \(k=2\) в формулу вероятности успеха и рассчитаем вероятность:

\[P(X=2) = C_{200}^2 \cdot 0.005^2 \cdot (1-0.005)^{200-2}\]
\[P(X=2) = \frac{200 \cdot 199}{2} \cdot 0.005^2 \cdot (0.995)^{198}\]

Теперь сложим все вероятности вместе:

\[P(\text{не более двух разбитых изделий}) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)\]

Вычислим это значение, объединив все предыдущие результаты:

\[P(\text{не более двух разбитых изделий}) = (0.995)^{200} + 200 \cdot 0.005 \cdot (0.995)^{199} + \frac{200 \cdot 199}{2} \cdot 0.005^2 \cdot (0.995)^{198}\]