Какова вероятность того, что из класса с 16 девочками и 12 мальчиками при выборе команды из 15 человек будут выбраны

Пчела

58

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать комбинаторику и правило умножения вероятностей.

Сначала определим общее количество способов выбрать команду из 15 человек из общего числа учеников в классе. Это можно сделать, используя формулу биномиального коэффициента:

\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]

где \(n\) - общее количество объектов (учеников), а \(k\) - количество объектов (учеников), которое нужно выбрать.

Поэтому общее количество возможных команд из 15 человек в классе, состоящем из 16 девочек и 12 мальчиков, будет:

\[\binom{28}{15} = \frac{28!}{15!(28-15)!}\]

Теперь рассмотрим, как выбрать 10 девочек из общего числа девочек и 5 мальчиков из общего числа мальчиков:

\[\binom{16}{10} \cdot \binom{12}{5} = \frac{16!}{10!(16-10)!} \cdot \frac{12!}{5!(12-5)!}\]

Теперь нам нужно разделить количество возможных команд с нужным нам составом на общее количество возможных команд:

\[P = \frac{\binom{16}{10} \cdot \binom{12}{5}}{\binom{28}{15}}\]

Выполним вычисления:

\[\frac{16!}{10!(16-10)!} \cdot \frac{12!}{5!(12-5)!} \cdot \frac{15!(28-15)!}{28!}\]

А это уже можно сократить:

\[P = \frac{16! \cdot 12! \cdot 15!}{10! \cdot 5! \cdot 15! \cdot 13!} = \frac{16! \cdot 12!}{10! \cdot 5! \cdot 13!}\]

Теперь вычислим это выражение:

\[P = \frac{16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10! \cdot 12!}{10! \cdot 5! \cdot 13 \cdot 12!} = \frac{16 \cdot 15 \cdot 14}{5!} = \frac{3360}{120}\]

Наконец, рассчитаем значение:

\[P = \frac{3360}{120} = 28\]

Таким образом, вероятность выбрать команду из 15 человек, состоящую из 10 девочек и 5 мальчиков из класса с 16 девочками и 12 мальчиками, равна 28.