Какова вероятность того, что из пяти проверяемых изделий: а) будет менее двух стандартных; б) будет хотя бы одно

Misticheskiy_Drakon

46

Давайте рассмотрим каждую часть задачи по очереди:

а) Вероятность того, что будет менее двух стандартных изделий.
Для решения этой задачи нам нужно рассмотреть все возможные случаи: 0 стандартных изделий и 1 стандартное изделие.

- Случай, когда нет стандартных изделий:
Вероятность, что одно изделие не является стандартным, равна \(\frac{4}{5}\) (так как мы выбираем одно изделие из всех пяти, и четыре из них не являются стандартными).
Так как у нас нет стандартных изделий, данная вероятность должна быть умножена на саму себя пять раз (так как мы выбираем пять изделий):
\[P(0\;стандартных) = \left(\frac{4}{5}\right)^5\]

- Случай, когда есть одно стандартное изделие:
Вероятность, что одно изделие является стандартным, равна \(\frac{1}{5}\).
Вероятность, что остальные изделия не являются стандартными, равна \(\frac{4}{5}\).
В данной ситуации нам также потребуется умножить обе вероятности.
Так как у нас только одно стандартное изделие, данная вероятность должна быть умножена на саму себя четыре раза (так как мы выбираем четыре изделия):
\[P(1\;стандартное) = \left(\frac{1}{5}\right) \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^4\]

Наконец, чтобы получить финальную вероятность менее двух стандартных изделий, мы должны сложить вероятности отдельных случаев:
\[P(менее\;2\;стандартных) = P(0\;стандартных) + P(1\;стандартное)\]

б) Вероятность того, что будет хотя бы одно стандартное изделие.
Для того, чтобы решить эту задачу, нам нужно вычислить вероятность обратного события - отсутствия стандартных изделий среди пяти проверяемых.

Мы уже рассчитали вероятность отсутствия стандартных изделий из предыдущей части задачи (\(P(0\;стандартных)\)), поэтому вероятность наличия хотя бы одного стандартного изделия будет равна обратному значению:
\[P(хотя\;бы\;1\;стандартное) = 1 - P(0\;стандартных)\]

в) Вероятность наивероятнейшего количества стандартных изделий и соответствующая этому событию вероятность.
Наивероятнейшее количество стандартных изделий - это количество, которое имеет наибольшую вероятность.

Для нахождения наивероятнейшего количества стандартных изделий, мы должны рассчитать вероятности для каждого возможного количества стандартных изделий (от 0 до 5) и найти максимальное значение. Затем мы определим вероятность этого события.

После расчетов мы получим вероятности для каждого возможного количества стандартных изделий:

\[P(0\;стандартных) = \left(\frac{4}{5}\right)^5,\]
\[P(1\;стандартное) = \left(\frac{1}{5}\right) \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^4,\]
\[P(2\;стандартных) = \left(\frac{1}{5}\right)^2 \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^3,\]
\[P(3\;стандартных) = \left(\frac{1}{5}\right)^3 \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^2,\]
\[P(4\;стандартных) = \left(\frac{1}{5}\right)^4 \cdot \left(\frac{4}{5}\right),\]
\[P(5\;стандартных) = \left(\frac{1}{5}\right)^5.\]

Теперь мы выбираем вероятность, имеющую наибольшее значение, и это будет вероятность наивероятнейшего количества стандартных изделий.