Какова вероятность того, что количество учебников, требующих новый переплет, будет в диапазоне от 800 до 1100, если

Valeriya

51

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться биномиальным распределением, так как мы знаем вероятность успеха (необходимость переплета после одного учебного года) и хотим найти вероятность определенного количества успехов (количество учебников, требующих переплета).

Давайте определим переменные:
\(n = 4000\) - общее количество учебников в библиотеке
\(p = 0.25\) - вероятность необходимости переплета после одного учебного года
\(k_1 = 800\) - нижняя граница интервала количества учебников, требующих переплета
\(k_2 = 1100\) - верхняя граница интервала количества учебников, требующих переплета

Мы можем использовать формулу биномиального распределения для вычисления вероятности \(P(X = k)\), где \(X\) - количество учебников, требующих переплета. Формула имеет следующий вид:

\[P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\]

где \(C(n, k)\) - число сочетаний из \(n\) по \(k\), которое можно вычислить следующим образом:

\[C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]

Теперь мы можем приступить к вычислениям. Для начала, нам нужно вычислить вероятность для каждого возможного значения количества учебников, находящихся в интервале от 800 до 1100:

\[P(k_1 \leq X \leq k_2) = \sum_{k=800}^{1100}C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\]

Подставляя значения, получим:

\[P(800 \leq X \leq 1100) = \sum_{k=800}^{1100}C(4000, k) \cdot 0.25^k \cdot (1-0.25)^{4000-k}\]

Теперь мы можем просуммировать значения для каждого \(k\) в указанном диапазоне. Однако, данный расчет достаточно трудоёмкий и может занять некоторое время, поэтому я рекомендую использовать калькулятор или программу для компьютера для более быстрого процесса вычислений и получения конечного результата.