Какова вероятность того, что передаваемое сообщение не будет принято, если каждый из пяти сигналов имеет одинаковую

Yastrebka

12

Для решения этой задачи, нам нужно найти вероятность того, что менее трех сигналов будут приняты.

Предположим, что каждый из пяти сигналов имеет вероятность ошибки равную 0.8. Также предположим, что сигналы независимы друг от друга, то есть ошибка в одном сигнале не влияет на другие.

Для нахождения вероятности, что менее трех сигналов будут приняты, мы можем использовать биномиальное распределение. Биномиальное распределение используется для моделирования случайных экспериментов с двумя возможными исходами (принятие или не принятие сигнала).

Формула для вероятности в биномиальном распределении выглядит следующим образом:

\[P(x) = C(n, x) \cdot p^x \cdot (1-p)^{n-x}\]

Где:
- P(x) - вероятность получить x успешных исходов
- C(n, x) - количество комбинаций из n элементов, выбранных x раз (известно как биномиальный коэффициент)
- p - вероятность успеха в одном испытании (в нашем случае вероятность принятия сигнала)
- n - количество испытаний (в нашем случае количество сигналов)

В данной задаче нам нужно найти вероятность менее трех успешных исходов, то есть когда принимается менее трех сигналов.

Таким образом, мы можем вычислить вероятность для x=0 и x=1:

Для x=0:
\[P(x=0) = C(5, 0) \cdot 0.8^0 \cdot (1-0.8)^{5-0} = 1 \cdot 1 \cdot 0.2^5 = 0.2^5\]

Для x=1:
\[P(x=1) = C(5, 1) \cdot 0.8^1 \cdot (1-0.8)^{5-1}= 5 \cdot 0.8 \cdot 0.2^4 = 0.8 \cdot 0.2^4\]

Чтобы найти вероятность того, что менее трех сигналов будут приняты, мы должны сложить вероятности для x=0 и x=1:

\[P(\text{менее трех сигналов}) = P(x=0) + P(x=1) = 0.2^5 + 0.8 \cdot 0.2^4\]

Теперь мы можем вычислить это численно:

\[P(\text{менее трех сигналов}) = 0.2^5 + 0.8 \cdot 0.2^4 \approx 0.032 + 0.0512 \approx 0.0832\]

Итак, вероятность того, что передаваемое сообщение не будет принято, составляет приблизительно 0.0832 или 8.32%.

Интересный факт: Чем выше вероятность ошибки в каждом сигнале (p), тем выше вероятность того, что передаваемое сообщение не будет принято. В данной задаче, так как вероятность ошибки каждого сигнала равна 0.8, вероятность отказа равна 8.32%.