Какова вероятность того, что после того, как пять карточек с буквами о , у , к , н , с были перевернуты и перемешаны

Ябеда

44

Для решения данной задачи нужно рассмотреть все возможные варианты расположения карточек и определить, сколько из них соответствуют условию.

1. Найдем общее количество возможных перестановок карточек. У нас имеется 5 карточек, поэтому общее число перестановок можно найти с помощью формулы для размещений:

\[A(n, k) = \frac{{n!}}{{(n-k)!}},\]

где n - общее количество элементов, k - количество элементов, которые мы выбираем для перестановки.

В данном случае n = 5 (5 карточек) и k = 5 (все карточки переворачиваются и перемешиваются), поэтому количество возможных перестановок будет равно:

\[A(5, 5) = \frac{{5!}}{{(5-5)!}} = \frac{{5!}}{{0!}} = 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120.\]

Таким образом, всего возможно 120 перестановок карточек.

2. Теперь необходимо определить, сколько из этих перестановок позволяют получить слова "конус" или "сукно".

a) Рассмотрим сначала получение слова "конус". Для этого нужно учесть, что в слове "конус" буква "о" и буква "с" встречаются по одному разу, а буква "к" и буква "н" - по два раза.

- Количество способов размещения буквы "о" равно количеству способов выбрать одну позицию из пяти возможных. Таким образом, мы выбираем одну позицию для буквы "о", и оставшиеся 4 позиции автоматически заполняются остальными буквами.

- Аналогичным образом, количество способов размещения буквы "с" равно количеству способов выбрать позицию из оставшихся 3 свободных.

- Количество способов размещения буквы "к" и буквы "н" равно количеству способов выбрать две позиции из двух оставшихся.

Таким образом, количество перестановок, дающих слово "конус", равно:

Количество перестановок = \(C(5, 1) \cdot C(3, 1) \cdot C(2, 2) = \frac{{5!}}{{1! \cdot (5-1)!}} \cdot \frac{{3!}}{{1! \cdot (3-1)!}} \cdot \frac{{2!}}{{2! \cdot (2-2)!}} = 5 \cdot 3 \cdot 1 = 15.\)

b) Рассмотрим получение слова "сукно". Аналогично предыдущему случаю, находим количество перестановок, дающих это слово:

Количество перестановок = \(C(5, 1) \cdot C(3, 1) \cdot C(2, 2) = 15.\)

3. Теперь, когда мы знаем количество перестановок, дающих нам слова "конус" или "сукно", найдем вероятность такого расположения карточек:

Вероятность = \(\frac{{Количество перестановок}}{{Общее количество перестановок}} = \frac{{15 + 15}}{{120}} = \frac{{30}}{{120}} = \frac{{1}}{{4}} = 0.25\) или 25%.

Таким образом, вероятность того, что после перемешивания карточек они образуют слово "конус" или "сукно", составляет 25%.