Какова вероятность того, что ровно 4 из 10000 обследованных жителей в этой области будут иметь гепатит?

Leha_8504

12

Для решения данной задачи мы будем использовать вероятность биномиального распределения. При условии, что вероятность заболеть гепатитом для каждого человека одинакова и равна \(p\), мы можем вычислить вероятность того, что ровно 4 из 10000 обследованных жителей будут иметь гепатит.

Формула для вероятности биномиального распределения имеет вид:

\[P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\]

Где:
\(P(X=k)\) - вероятность того, что ровно \(k\) событий произойдут
\(n\) - общее количество событий (в нашем случае, количество обследованных жителей)
\(k\) - количество событий, которые мы хотим получить (в нашем случае, 4 жителя с гепатитом)
\(p\) - вероятность каждого события (вероятность заболевания гепатитом)

В данной задаче, \(n = 10000\), \(k = 4\), и нам не дана конкретная вероятность заболевания гепатитом для каждого человека. Поэтому мы не можем точно рассчитать результат. Однако, если предположить, что вероятность заболевания гепатитом составляет \(p = 0.001\), то мы можем вычислить приближенное значение вероятности.

С подставленными значениями в формулу, получим:

\[P(X=4) = \binom{10000}{4} \cdot 0.001^4 \cdot (1-0.001)^{10000-4}\]

Однако, для вычисления этого значения необходимо использовать более продвинутую технику вычисления больших чисел, и примерное решение может быть не очень наглядным для школьника. Поэтому вместо этого, предлагаю оценить вероятность с помощью приближенной формулы Пуассона.

Вероятность события \(k\) раз произойдет в последовательности из \(n\) экспериментов с вероятностью \(p\) каждый раз может быть приближено по формуле Пуассона:

\[P(X=k) \approx \frac{e^{-np} \cdot (np)^k}{k!}\]

где \(e\) - основание натурального логарифма, равное примерно \(2.71828\).

При подстановке значений в формулу Пуассона, получим:

\[P(X=4) \approx \frac{e^{-10000 \cdot 0.001} \cdot (10000 \cdot 0.001)^4}{4!}\]

Данная формула позволяет получить более простую оценку вероятности, но все равно требует использования калькулятора или специального программного обеспечения для вычисления значений экспоненты и факториала.

Итак, вероятность того, что ровно 4 из 10000 обследованных жителей в этой области будут иметь гепатит, может быть оценена с использованием формулы Пуассона.

Пожалуйста, примите во внимание, что данное решение является приближенным, и результат может отличаться от точного значения в зависимости от конкретной вероятности заболевания гепатитом.