Какова вероятность того, что событие а произойдет 5 раз в серии из 7 независимых испытаний, если вероятность события

Igor

20

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится использовать биномиальное распределение, так как мы интересуемся вероятностью того, что событие "a" произойдет ровно 5 раз в серии из 7 испытаний.

Вероятность события "a" в одном испытании равна 1/2, а вероятность его непроизведения (обозначим это событие как "не a") равна 1/2.

Теперь мы можем использовать формулу биномиального распределения для расчета вероятности:

\[P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\]

Где:
- \(P(X = k)\) означает вероятность того, что событие "a" произойдет ровно "k" раз в серии из "n" испытаний.
- \(\binom{n}{k}\) обозначает число сочетаний из "n" по "k".
- \(p\) - вероятность события "a" в одном испытании (в нашем случае 1/2).
- \(k\) - количество раз, которое мы хотим, чтобы событие "a" произошло (в нашем случае 5).
- \(n\) - общее количество испытаний (в нашем случае 7).

Теперь, подставляя наши значения, мы можем рассчитать вероятность:

\[P(X = 5) = \binom{7}{5} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^5 \cdot \left(1 - \frac{1}{2}\right)^{7 - 5}\]

Выполним вычисления по шагам:

\(\binom{7}{5} = \frac{7!}{5!(7-5)!} = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21\)

\(\left(\frac{1}{2}\right)^5 = \frac{1}{32}\)

\(\left(1 - \frac{1}{2}\right)^{7 - 5} = \frac{1}{4}\)

Теперь умножим все значения вместе:

\(P(X = 5) = 21 \cdot \frac{1}{32} \cdot \frac{1}{4}\)

\(P(X = 5) = \frac{21}{128}\)

Таким образом, вероятность того, что событие "a" произойдет ровно 5 раз в серии из 7 независимых испытаний, при условии, что вероятность события "a" в одном испытании равна 1/2, составляет \(P(X = 5) = \frac{21}{128}\).