Какова вероятность того, что спортсмен победит 4 раза из 6 поединков, если вероятность его победы в каждом поединке

Kiska

21

Чтобы решить данную задачу о вероятности, мы можем воспользоваться биномиальным распределением. Для начала, давайте разберемся, что такое биномиальное распределение.

Биномиальное распределение описывает вероятность появления определенного количества успехов в серии испытаний. В данном случае, каждый поединок можно рассматривать как отдельное испытание, и у нас есть 6 таких испытаний.

Пусть X будет случайной величиной, представляющей количество побед спортсмена из 6 поединков. Так как вероятность его победы в каждом поединке составляет 0,7, то вероятность успеха в данном испытании равна 0,7.

Формула для биномиального распределения имеет вид:

$$P(X=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\cdot p^k\cdot (1-p{)}^{n-k}$$

где:
- n - количество испытаний (в данном случае 6),
- k - количество успехов (в данном случае 4),
- p - вероятность успеха в каждом испытании (в данном случае 0,7).

Давайте теперь найдем вероятность, что спортсмен победит 4 раза из 6 поединков, подставив соответствующие значения в формулу.

$$P(X=4)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{4})\cdot 0,7^4\cdot (1-0,7{)}^{6-4}$$

Вычислим:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{4})=\frac{6!}{4!(6-4)!}=\frac{6!}{4!2!}=\frac{6\cdot 5\cdot 4!}{4!\cdot 2\cdot 1}=\frac{6\cdot 5}{2}=15$$

Теперь, подставим найденное значение и остальные известные значения в формулу:

$$P(X=4)=15\cdot 0,7^4\cdot (1-0,7{)}^{6-4}$$

$$P(X=4)=15\cdot 0,7^4\cdot 0,3^2$$

Вычислим:

$$0,7^4=0,2401$$

$$0,3^2=0,09$$

Теперь, подставим найденные значения:

$$P(X=4)=15\cdot 0,2401\cdot 0,09$$

$$P(X=4)=0,32404$$

Таким образом, вероятность того, что спортсмен победит 4 раза из 6 поединков, составляет около 0,324 или 32,4%.