Какова вероятность того, что спортсмен победит 4 раза из 6 поединков, если вероятность его победы в каждом поединке

Kiska

21

Чтобы решить данную задачу о вероятности, мы можем воспользоваться биномиальным распределением. Для начала, давайте разберемся, что такое биномиальное распределение.

Биномиальное распределение описывает вероятность появления определенного количества успехов в серии испытаний. В данном случае, каждый поединок можно рассматривать как отдельное испытание, и у нас есть 6 таких испытаний.

Пусть X будет случайной величиной, представляющей количество побед спортсмена из 6 поединков. Так как вероятность его победы в каждом поединке составляет 0,7, то вероятность успеха в данном испытании равна 0,7.

Формула для биномиального распределения имеет вид:

\[P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\]

где:
- n - количество испытаний (в данном случае 6),
- k - количество успехов (в данном случае 4),
- p - вероятность успеха в каждом испытании (в данном случае 0,7).

Давайте теперь найдем вероятность, что спортсмен победит 4 раза из 6 поединков, подставив соответствующие значения в формулу.

\[P(X=4) = \binom{6}{4} \cdot 0,7^4 \cdot (1-0,7)^{6-4}\]

Вычислим:

\[\binom{6}{4} = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{4! \cdot 2 \cdot 1} = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15\]

Теперь, подставим найденное значение и остальные известные значения в формулу:

\[P(X=4) = 15 \cdot 0,7^4 \cdot (1-0,7)^{6-4}\]

\[P(X=4) = 15 \cdot 0,7^4 \cdot 0,3^2\]

Вычислим:

\[0,7^4 = 0,2401\]

\[0,3^2 = 0,09\]

Теперь, подставим найденные значения:

\[P(X=4) = 15 \cdot 0,2401 \cdot 0,09\]

\[P(X=4) = 0,32404\]

Таким образом, вероятность того, что спортсмен победит 4 раза из 6 поединков, составляет около 0,324 или 32,4%.