Какова вероятность того, что в месяце с 31 днем будет 5 суббот? Пожалуйста, округлите ваш ответ до двух десятых

Саранча

39

Чтобы решить эту задачу, мы должны посчитать вероятность каждого возможного количества суббот в месяце с 31 днем и затем найти вероятность того, что их будет ровно 5.

Месяц с 31 днем может иметь 5, 4, 3 или 2 субботы. Давайте рассмотрим каждый из этих вариантов отдельно.

1) Если в месяце будет 5 суббот:
Заметим, что чтобы было ровно 5 суббот, оставшиеся 26 дней месяца могут быть любыми, кроме субботы. В вероятностном подходе мы можем считать, что каждый день месяца имеет одинаковую вероятность стать субботой или не субботой.
Тогда вероятность того, что один конкретный день не будет субботой, составляет \(\frac{6}{7}\) (6 дней из 7 не являются субботой).
Вероятность того, что 26 дней не будут субботой, равна \(\left(\frac{6}{7}\right)^{26}\).
Таким образом, вероятность того, что в месяце с 31 днем будет ровно 5 суббот, равна \(\left(\frac{6}{7}\right)^{26}\).

2) Если в месяце будет 4 субботы:
Аналогично предыдущему случаю, всего у нас 26 дней не будут субботой, тогда вероятность этого равна \(\left(\frac{6}{7}\right)^{26}\).
Однако, для появления 4 суббот, нам необходимо выбрать 4 дня из 31, которые будут субботами. Вероятность того, что выбранные дни будут субботами, равна \(\left(\frac{1}{7}\right)^{4}\).
Итак, вероятность того, что в месяце с 31 днем будет 4 субботы, равна \(\left(\frac{6}{7}\right)^{26} \cdot \left(\frac{1}{7}\right)^{4} \cdot \binom{31}{4}\).

3) Если в месяце будет 3 субботы:
Аналогичным образом, всего у нас 28 дней не будут субботой, тогда вероятность этого равна \(\left(\frac{6}{7}\right)^{28}\).
Для появления 3 суббот, нам необходимо выбрать 3 дня из 31, которые будут субботами. Вероятность того, что выбранные дни будут субботами, равна \(\left(\frac{1}{7}\right)^{3}\).
Итак, вероятность того, что в месяце с 31 днем будет 3 субботы, равна \(\left(\frac{6}{7}\right)^{28} \cdot \left(\frac{1}{7}\right)^{3} \cdot \binom{31}{3}\).

4) Если в месяце будет 2 субботы:
Аналогично, всего у нас 29 дней не будут субботой, тогда вероятность этого равна \(\left(\frac{6}{7}\right)^{29}\).
Для появления 2 суббат, нам необходимо выбрать 2 дня из 31, которые будут субботами. Вероятность того, что выбранные дни будут субботами, равна \(\left(\frac{1}{7}\right)^{2}\).
Итак, вероятность того, что в месяце с 31 днем будет 2 нуля суббат, равна \(\left(\frac{6}{7}\right)^{29} \cdot \left(\frac{1}{7}\right)^{2} \cdot \binom{31}{2}\).

Теперь давайте сложим все вероятности, чтобы найти окончательный ответ:

\[\text{Вероятность} = \left(\frac{6}{7}\right)^{26} + \left(\frac{6}{7}\right)^{26} \cdot \left(\frac{1}{7}\right)^{4} \cdot \binom{31}{4} + \left(\frac{6}{7}\right)^{28} \cdot \left(\frac{1}{7}\right)^{3} \cdot \binom{31}{3} + \left(\frac{6}{7}\right)^{29} \cdot \left(\frac{1}{7}\right)^{2} \cdot \binom{31}{2}\]

Вычислив эту сумму, округлим ответ до двух десятых.