Какова вероятность того, что в случайно выбранном 8-значном коде банковского сейфа все цифры будут различными?

Kaplya

39

Давайте решим данную задачу шаг за шагом.

Шаг 1: Определение количества возможных вариантов для каждой цифры кода.
Код банковского сейфа состоит из 8 цифр. Поскольку все цифры должны быть различными, для первой цифры кода есть 9 вариантов (от 1 до 9), для второй цифры - 9 вариантов (все цифры, кроме выбранной первой), и так далее. Для восьмой цифры также есть 9 вариантов (все цифры, кроме выбранных ранее).

Шаг 2: Вычисление общего числа возможных кодов.
На каждой позиции кода у нас есть 9 возможных вариантов. Поскольку длина кода составляет 8 цифр, общее число возможных кодов можно найти, перемножив количество вариантов для каждой позиции:
\(9 \times 9 \times 9 \times 9 \times 9 \times 9 \times 9 \times 9 = 9^8\).

Шаг 3: Вычисление числа благоприятных исходов.
Чтобы все цифры кода были различными, нам нужно выбрать из 10 возможных цифр (от 0 до 9) 8 различных цифр. Количество вариантов этого процесса можно найти, используя сочетания. Формула для вычисления количества сочетаний из n элементов по k элементов выглядит следующим образом:
\[C(n, k) = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}} \]

В нашем случае, n = 10 (общее количество цифр), k = 8 (количество цифр в коде). Подставим значения и вычислим:
\[C(10, 8) = \frac{{10!}}{{8! \cdot (10-8)!}} = \frac{{10!}}{{8! \cdot 2!}} = \frac{{10 \cdot 9 \cdot 8!}}{{8! \cdot 2 \cdot 1}} = \frac{{10 \cdot 9}}{{2}} = 45\]

Шаг 4: Вычисление вероятности.
Чтобы найти вероятность того, что в случайно выбранном 8-значном коде все цифры различны, нужно поделить число благоприятных исходов на общее количество возможных кодов:
\[P = \frac{{\text{{число благоприятных исходов}}}}{{\text{{общее число возможных кодов}}}} = \frac{{45}}{{9^8}}\]

Таким образом, вероятность того, что в случайно выбранном 8-значном коде банковского сейфа все цифры будут различными, равна \(\frac{{45}}{{9^8}}\).