Какова вероятность того, что за год перегорит ровно одна или две лампочки в гирлянде?

Скрытый_Тигр

56

Чтобы решить эту задачу, нам нужно знать два важных параметра: общее количество лампочек в гирлянде и вероятность перегорания одной лампочки в течение года. Допустим, у нас есть гирлянда с \(n\) лампочками и вероятностью перегорания одной лампочки равной \(p\).

Для начала, давайте посчитаем вероятность перегорания ровно одной лампочки. Мы можем выбрать одну конкретную лампочку, которая перегорит, с вероятностью \(p\), а оставшиеся \(n-1\) лампочек останутся работать с вероятностью \(1-p\). Так как у нас есть \(n\) лампочек, которые могут перегореть, мы должны умножить это число на вероятность перегорания одной лампочки и на вероятность неперегорания \(n-1\) лампочек. Таким образом, вероятность перегорания ровно одной лампочки составляет \(P_1 = n \cdot p \cdot (1-p)^{n-1}\).

Аналогичным образом можем рассчитать вероятность перегорания ровно двух лампочек. Сначала выберем две конкретные лампочки, которые перегорят, с вероятностью \(p^2\), а оставшиеся \(n-2\) лампочки останутся работать с вероятностью \((1-p)^{n-2}\). Количество способов выбрать две конкретные лампочки из \(n\) равно \(C_n^2 = \frac{n!}{2!(n-2)!}\). Поэтому вероятность перегорания ровно двух лампочек составляет \(P_2 = \frac{n!}{2!(n-2)!} \cdot p^2 \cdot (1-p)^{n-2}\).

Теперь мы можем сложить вероятности перегорания одной и двух лампочек, чтобы получить общую вероятность перегорания ровно одной или двух лампочек:

\[P = P_1 + P_2\]

Подставим значения \(P_1\) и \(P_2\):

\[P = n \cdot p \cdot (1-p)^{n-1} + \frac{n!}{2!(n-2)!} \cdot p^2 \cdot (1-p)^{n-2}\]

Таким образом, мы получили общую формулу для вероятности перегорания ровно одной или двух лампочек в гирлянде. Эту формулу можно использовать для расчетов, подставив конкретные значения \(n\) и \(p\).