Какую длину имеет третья сторона треугольника, если известно, что две другие стороны равны 1 см и 6 см, а между ними

Мороз

21

Для решения этой задачи нам понадобится использовать закон косинусов, который связывает длины сторон треугольника с косинусами его углов.

Закон косинусов гласит: в любом треугольнике квадрат длины стороны равен сумме квадратов длин двух других сторон минус произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Для этой задачи у нас есть две стороны, длины которых равны 1 см и 6 см, и угол между ними составляет 120°. Обозначим третью сторону как $c$.

Применим закон косинусов:
$$c^2=1^2+6^2-2\cdot 1\cdot 6\cdot \cos {120}^{\circ }$$

Далее, рассчитаем косинус 120°. Для удобства, воспользуемся формулой косинуса суммы:

$$\cos (x+y)=\cos x\cdot \cos y-\sin x\cdot \sin y$$

В данном случае, углы 120° и 60° являются свойственными для равностороннего треугольника. Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, третий угол будет составлять 180° - 120° - 60° = 0°. Очевидно, что $\cos 0^{\circ }=1$, а $\sin 0^{\circ }=0$.

Таким образом, у нас получается:
$$\cos {120}^{\circ }=\cos ({60}^{\circ }+{60}^{\circ })=\cos {60}^{\circ }\cdot \cos {60}^{\circ }-\sin {60}^{\circ }\cdot \sin {60}^{\circ }=-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=-\frac{1}{4}-\frac{3}{4}=-\frac{4}{4}=-1$$

Теперь, вернемся к нашей формуле закона косинусов:
$$c^2=1^2+6^2-2\cdot 1\cdot 6\cdot (-1)$$

Вычислим правую часть уравнения:
$$c^2=1+36+12$$

Суммируем числа:
$$c^2=49$$

Возьмем квадратный корень от обеих сторон уравнения:
$$c=\sqrt{49}$$

Итак, третья сторона треугольника равна 7 см.