Какую длину имеет третья сторона треугольника, если известно, что две другие стороны равны 1 см и 6 см, а между ними

Мороз

21

Для решения этой задачи нам понадобится использовать закон косинусов, который связывает длины сторон треугольника с косинусами его углов.

Закон косинусов гласит: в любом треугольнике квадрат длины стороны равен сумме квадратов длин двух других сторон минус произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Для этой задачи у нас есть две стороны, длины которых равны 1 см и 6 см, и угол между ними составляет 120°. Обозначим третью сторону как \(c\).

Применим закон косинусов:
\[c^2 = 1^2 + 6^2 - 2 \cdot 1 \cdot 6 \cdot \cos{120^\circ}\]

Далее, рассчитаем косинус 120°. Для удобства, воспользуемся формулой косинуса суммы:

\[\cos(x + y) = \cos{x} \cdot \cos{y} - \sin{x} \cdot \sin{y}\]

В данном случае, углы 120° и 60° являются свойственными для равностороннего треугольника. Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, третий угол будет составлять 180° - 120° - 60° = 0°. Очевидно, что \(\cos{0^\circ} = 1\), а \(\sin{0^\circ} = 0\).

Таким образом, у нас получается:
\[\cos{120^\circ} = \cos{(60^\circ + 60^\circ)} = \cos{60^\circ} \cdot \cos{60^\circ} - \sin{60^\circ} \cdot \sin{60^\circ} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{1}{4} - \frac{3}{4} = -\frac{4}{4} = -1\]

Теперь, вернемся к нашей формуле закона косинусов:
\[c^2 = 1^2 + 6^2 - 2 \cdot 1 \cdot 6 \cdot (-1)\]

Вычислим правую часть уравнения:
\[c^2 = 1 + 36 + 12\]

Суммируем числа:
\[c^2 = 49\]

Возьмем квадратный корень от обеих сторон уравнения:
\[c = \sqrt{49}\]

Итак, третья сторона треугольника равна 7 см.