Какова вероятность того, что за год перегорят не менее одной, но не более трех лампочек в гирлянде?

Zayka

29

Чтобы решить эту задачу, нам нужно знать две вещи: количество лампочек в гирлянде и вероятность того, что каждая лампочка перегорит за год. Предположим, у нас есть \(n\) лампочек в гирлянде.

Для начала, мы должны рассмотреть случай, когда перегорает только одна лампочка за год. Вероятность того, что данная лампочка перегорит, обозначим как \(p\). Вероятность того, что она не перегорит, обозначим как \((1-p)\). Поскольку мы не знаем, какая именно лампочка перегорит, нам нужно учесть все возможные комбинации.

С учетом этих значений, вероятность того, что ровно одна лампочка перегорит за год, вычисляется по формуле для биномиального распределения:

\[P(X = 1) = C(n, 1) \cdot p \cdot (1-p)^{n-1}\]

Где \(C(n, 1)\) - это число сочетаний, равное количеству способов выбрать одну лампочку из \(n\).

Однако нам также нужно рассмотреть случай, когда перегорят две и три лампочки. Вероятность каждого из этих событий также можно выразить с использованием биномиального распределения:

\[P(X = 2) = C(n, 2) \cdot p^2 \cdot (1-p)^{n-2}\]
\[P(X = 3) = C(n, 3) \cdot p^3 \cdot (1-p)^{n-3}\]

Теперь мы можем сложить вероятности перегорания одной, двух и трех лампочек, чтобы получить общую вероятность того, что за год перегорит не менее одной, но не более трех лампочек в гирлянде:

\[P(X \geq 1, X \leq 3) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)\]

Учитывая эти формулы, мы можем предоставить подробное пошаговое решение для произвольного числа лампочек \(n\) и вероятности перегорания \(p\).

Обратите внимание, что конкретные значения \(n\) и \(p\) вам необходимо предоставить, чтобы я мог точно рассчитать итоговую вероятность для этой задачи.