Какова вероятность возникновения ошибки в отсчете, меньшей чем 0,06, если цена деления шкалы измерительного прибора

Pugayuschiy_Dinozavr

50

Давайте решим задачу пошагово.

Первый шаг - определение наших переменных. Пусть:
\( X \) - ошибка в отсчете,
\( A \) - условие "ошибка в отсчете меньше 0,06",
\( B \) - условие "измерительное устройство показывает целое значение".

Второй шаг - определение вероятностей. По условию задачи, ошибка округления является равномерно распределенной случайной величиной. Равномерное распределение означает, что вероятность попадания значения в определенный интервал пропорциональна длине этого интервала.

Мы знаем, что цена деления шкалы равна 0,3, что означает, что наша ошибка не может превышать этого значения. Таким образом, мы можем представить равномерное распределение на отрезке от -0,15 до 0,15. Тогда функция плотности вероятности будет равна:
\[ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{0,3}, & -0,15 \leq x \leq 0,15 \\ 0, & \text{в противном случае} \end{cases} \]

Третий шаг - определение условий. Условие "ошибка в отсчете меньше 0,06" можно записать как \( X < 0,06 \). Условие "измерительное устройство показывает целое значение" означает, что значение на приборе должно быть округлено до ближайшего целого значения. Таким образом, мы можем записать это условие как \( |X| < \frac{1}{2} \).

Четвертый шаг - определение требуемой вероятности. Мы хотим найти вероятность возникновения ошибки, меньшей чем 0,06, то есть вероятность события \( A \), при условии события \( B \). Это записывается как \( P(A|B) \).

Пятый шаг - решение задачи. Для того чтобы найти вероятность \( P(A|B) \), нужно использовать формулу условной вероятности:
\[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \]

Сначала найдем вероятность события \( B \), то есть посчитаем, какая часть всего возможного интервала (-0,15 до 0,15) удовлетворяет условию \( |X| < \frac{1}{2} \). Так как наше распределение равномерное, это будет просто отношение длины интервала, удовлетворяющего условию, к общей длине интервала. Длина интервала, удовлетворяющего условию, равна 0,15 - 0,06 (поскольку ошибка должна быть в пределах -0,15 и 0,15, а мы ищем ошибку, меньшую чем 0,06). Общая длина интервала равна 0,15 - (-0,15). Таким образом, вероятность события \( B \) равна:
\[ P(B) = \frac{0,15 - 0,06}{0,15 - (-0,15)} = \frac{0,09}{0,3} = 0,3 \]

Теперь найдем вероятность совместного события \( A \cap B \), то есть вероятность, что ошибка меньше 0,06 и измерительное устройство показывает целое значение. Это будет вероятность попадания значения в интервал от -0,06 до 0,06, так как это условие события \( A \), и вероятности попадания значения в интервал от -0,15 до 0,15, так как это условие события \( B \). Вероятность совместного события будет равна произведению вероятностей соответствующих интервалов, так как они независимы. Таким образом, вероятность совместного события \( A \cap B \) будет равна:
\[ P(A \cap B) = \frac{0,06 - (-0,06)}{0,3} = \frac{0,12}{0,3} = 0,4 \]

Теперь мы можем найти искомую вероятность \( P(A|B) \) с помощью формулы условной вероятности:
\[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0,4}{0,3} \approx 1,33 \]

Таким образом, вероятность возникновения ошибки в отсчете, меньшей чем 0,06, при условии, что цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,3 и показания прибора округляют до ближайшего целого деления, составляет примерно 1,33 или 133%.