Какова вероятность выбора не менее двух чисел, кратных другому числу, если выбираются семь чисел из натурального

Viktoriya

12

Для решения данной задачи нам понадобится некоторое знание в комбинаторике.

В данной задаче мы ищем вероятность выбора не менее двух чисел, кратных другому числу. Для этого нам нужно рассмотреть два случая: когда выбрано ровно два числа и когда выбраны три числа.

1. Случай выбора двух чисел:
Первое число можно выбрать из 37 чисел, а второе число должно быть кратно первому. Кратное числу 1 есть само число 1. Оставшиеся кратные числа можно найти, подсчитав все числа от 1 до 37, делящиеся на 2, на 3, на 4 и так далее.

Количество кратных чисел в натуральном диапазоне от 1 до n можно найти с помощью формулы: \(\left\lfloor\frac{n}{k}\right\rfloor\), где \(\left\lfloor x\right\rfloor\) обозначает наибольшее целое число, не превосходящее x.

Таким образом, количество кратных 2 чисел равно \(\left\lfloor\frac{37}{2}\right\rfloor = 18\), количество кратных 3 чисел равно \(\left\lfloor\frac{37}{3}\right\rfloor = 12\), количество кратных 4 чисел равно \(\left\lfloor\frac{37}{4}\right\rfloor = 9\), и так далее.

Количество способов выбрать первое и второе число будет равно произведению количества кратных чисел для каждого случая. Так как в данной задаче нужно выбрать ровно два числа, мы должны выбрать по паре чисел, кратных друг другу.

Таким образом, вероятность выбора двух чисел, кратных другому числу, равна:
\[\frac{{18 \cdot (18 - 1) + 12 \cdot (12 - 1) + 9 \cdot (9 - 1) + \ldots}}{\binom{37}{2}}\]

2. Случай выбора трёх чисел:
Здесь мы также рассматриваем все возможные кратные числа в диапазоне от 1 до 37. Количество способов выбрать первое, второе и третье число будет равно произведению количества кратных чисел для каждого случая.

Таким образом, вероятность выбора трех чисел, кратных другому числу, равна:
\[\frac{{18 \cdot (18 - 1) \cdot (18 - 2) + 12 \cdot (12 - 1) \cdot (12 - 2) + 9 \cdot (9 - 1) \cdot (9 - 2) + \ldots}}{\binom{37}{3}}\]

Общая вероятность выбора не менее двух чисел, кратных другому числу, будет равна сумме вероятностей из двух случаев, то есть:
\[\frac{{(18 \cdot (18 - 1) + 12 \cdot (12 - 1) + 9 \cdot (9 - 1) + \ldots)}}{\binom{37}{2}} + \frac{{(18 \cdot (18 - 1) \cdot (18 - 2) + 12 \cdot (12 - 1) \cdot (12 - 2) + 9 \cdot (9 - 1) \cdot (9 - 2) + \ldots)}}{\binom{37}{3}}\]