Какова вероятность выбрать 4 стандартные детали из 6 случайно выбранных из 12 деталей?

Чудесный_Мастер

18

Чтобы решить эту задачу, нам нужно применить понятие комбинаторики и использовать формулу для нахождения числа сочетаний.

Перед тем, как мы рассчитаем вероятность, давайте определимся с некоторыми понятиями. Стандартные детали — это детали, которые не отличаются друг от друга и взаимозаменяемы. В данном случае, у нас есть 12 стандартных деталей.

Теперь давайте посмотрим на то, сколько всего возможных комбинаций из 12 деталей мы можем составить. Для этого мы используем формулу для нахождения числа сочетаний:
\[C_n^k = \frac{{n!}}{{k!(n-k)!}}\]
где \(n\) - общее количество объектов (в данном случае 12), а \(k\) - количество объектов в выборке (в данном случае 4), а \(n!\) обозначает факториал числа \(n\).

Применяя эту формулу к нашей задаче, мы получим:
\[C_{12}^4 = \frac{{12!}}{{4!(12-4)!}} = \frac{{12!}}{{4!8!}}\]

Давайте теперь распишем это подробнее и пошагово упростим выражение. Первым шагом найдем значение факториала числа 12:
\[12! = 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1\]
После этого найдем значение факториала числа 4:
\[4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1\]
И, наконец, найдем значение факториала числа 8:
\[8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1\]

Подставив значения в формулу, получим:
\[C_{12}^4 = \frac{{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}}{{(4 \times 3 \times 2 \times 1) \times (8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1)}}\]

Теперь давайте выполним упрощение выражения:
\[C_{12}^4 = \frac{{12 \times 11 \times 10 \times 9}}{{4 \times 3 \times 2 \times 1}}\]

Произведем вычисления:
\[C_{12}^4 = \frac{{11880}}{{24}} = 495\]

Таким образом, у нас имеется 495 возможных комбинаций для выбора 4 стандартных деталей из 12.

Теперь, чтобы найти вероятность выбрать 4 стандартные детали из 6, мы должны разделить количество благоприятных исходов (т.е. 495 комбинаций) на общее количество возможных исходов (в данном случае 6 деталей):
\[P = \frac{{495}}{{6}}\]

Выполняя это деление, получаем:
\[P \approx 82.5\%\]

Таким образом, вероятность выбрать 4 стандартные детали из 6 составляет около 82.5%.