Какова вероятность выбрать двух девушек и одного юношу из туристической группы из 11 юношей и 5 девушек при случайном

Schelkunchik

32

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать комбинаторику и применить принципы сочетаний.

Итак, у нас есть туристическая группа, состоящая из 11 юношей и 5 девушек. Мы должны выбрать 3 человека для выполнения дежурства: 2 девушки и 1 юношу.

Для начала, посчитаем количество способов выбрать 2 девушки из 5. Мы можем использовать формулу сочетаний \({{n}\choose{r}}\), где \(n\) - общее количество элементов, а \(r\) - количество элементов, которые мы выбираем. В нашем случае, это будет \({{5}\choose{2}}\):

\[{5\choose 2} = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5\times 4}{2\times 1} = 10\]

Таким образом, у нас есть 10 способов выбрать 2 девушки из группы.

Теперь рассмотрим выбор 1 юноши из 11. Аналогично, мы можем использовать формулу сочетаний:

\[{11\choose 1} = 11\]

У нас есть 11 способов выбрать 1 юношу.

Теперь мы можем использовать принцип умножения и умножить количество способов выбрать 2 девушки из 5 (10) на количество способов выбрать 1 юношу из 11 (11):

\(10 \times 11 = 110\)

Итак, существует 110 возможных комбинаций, чтобы выбрать двух девушек и одного юношу для дежурства из данной туристической группы.

Чтобы найти вероятность этого события, нам нужно разделить количество благоприятных исходов на общее количество возможных исходов. Общее количество возможных исходов в данной ситуации - это общее количество способов выбрать 3 человека из всех участников группы, то есть:

\[{16\choose 3} = \frac{16!}{3!(16-3)!} = \frac{16\times 15\times 14}{3\times 2\times 1} = 560\]

Таким образом, вероятность выбрать двух девушек и одного юношу равна:

\(\frac{110}{560}\), что можно упростить, поделив числитель и знаменатель на 10:

\(\frac{11}{56}\)

Итак, вероятность выбрать двух девушек и одного юношу при случайном выборе 3 дежурных из данной туристической группы равна \(\frac{11}{56}\).