Какова высота цилиндра, если его объем составляет 100п и площадь его боковой поверхности равна 25п?

Золотой_Лист

35

Для решения данной задачи нам необходимо использовать формулы, связанные с объемом и площадью поверхности цилиндра.

1. Выразим радиус цилиндра \(r\) из формулы площади его боковой поверхности.
Формула площади боковой поверхности цилиндра: \(S_{\text{бп}} = 2\pi rh\), где \(h\) - высота цилиндра.

Подставим данные из условия: \(S_{\text{бп}} = 25\pi\).
Получим уравнение: \(25\pi = 2\pi rh\).
Сократим \(\pi\) на обеих сторонах: \(25 = 2rh\).

2. Теперь выразим высоту цилиндра \(h\) через объем цилиндра.
Формула объема цилиндра: \(V = \pi r^2h\).

Подставим данные из условия: \(V = 100\pi\).
Получим уравнение: \(100\pi = \pi r^2h\).
Сократим \(\pi\) на обеих сторонах: \(100 = r^2h\).

3. Избавимся от неизвестного радиуса \(r\), подставив значение, полученное из первого уравнения.
Подставим \(r = \frac{25}{2h}\) в уравнение \(100 = r^2h\).

Получим: \(100 = \left(\frac{25}{2h}\right)^2h\).
Раскроем скобки: \(100 = \frac{625}{4h^2}h\).
Упростим выражение: \(100 = \frac{625}{4h}\).

4. Избавимся от дроби, умножив обе части уравнения на \(\frac{4h}{625}\).

Получим: \(100 \cdot \frac{4h}{625} = \frac{625}{4h} \cdot \frac{4h}{625}\).
Упростим выражение: \(\frac{400h}{625} = 1\).
Сократим дробь: \(\frac{8h}{5} = 1\).

5. Найдем значение высоты цилиндра \(h\), разделив обе части уравнения на 8.

Получим: \(\frac{8h}{5} \cdot \frac{1}{8} = 1 \cdot \frac{1}{8}\).
Упростим выражение: \(h = \frac{1}{8} \cdot 5\).
Вычислим значение: \(h = \frac{5}{8}\).

Таким образом, высота цилиндра составляет \(\frac{5}{8}\).