Подтвердите, что авсd является ромбом, если координаты точек а(9,2,8), в(5,3,-2),с(-3,-4,-4),d(1,-5,6)​

Тайсон

22

Чтобы подтвердить, что авсd является ромбом, мы должны проверить два условия: длины всех сторон равны между собой и противоположные стороны параллельны. Давайте проверим эти условия.

Используя координаты точек а(9,2,8), в(5,3,-2), с(-3,-4,-4) и d(1,-5,6), мы можем рассчитать длины каждой стороны и уравнения прямых, на которых лежат противоположные стороны.

1. Расчет длин сторон:
Сторона ав: \(\sqrt{(9-5)^2 + (2-3)^2 + (8+2)^2} = \sqrt{16 + 1 + 100} = \sqrt{117} \approx 10.82\)
Сторона бв: \(\sqrt{(5-1)^2 + (3+5)^2 + (-2-6)^2} = \sqrt{16 + 64 + 64} = \sqrt{144} = 12\)
Сторона сд: \(\sqrt{(-3-1)^2 + (-4+5)^2 + (-4-6)^2} = \sqrt{16 + 1 + 100} = \sqrt{117} \approx 10.82\)
Сторона да: \(\sqrt{(1-9)^2 + (-5-2)^2 + (6-8)^2} = \sqrt{64 + 49 + 4} = \sqrt{117} \approx 10.82\)

2. Расчет уравнений прямых:
Прямая, проходящая через а(9,2,8) и в(5,3,-2):
Вектор направления прямой: \(\overrightarrow{av} = (5-9, 3-2, -2-8) = (-4, 1, -10)\)
Уравнение прямой: \(\begin{cases} x = 9 - 4t \\ y = 2 + t \\ z = 8 - 10t \end{cases}\)

Прямая, проходящая через с(-3,-4,-4) и d(1,-5,6):
Вектор направления прямой: \(\overrightarrow{cd} = (1-(-3), -5-(-4), 6-(-4)) = (4, -1, 10)\)
Уравнение прямой: \(\begin{cases} x = -3 + 4t \\ y = -4 - t \\ z = -4 + 10t \end{cases}\)

Мы видим, что уравнения прямых для противоположных сторон совпадают, что говорит о их параллельности.

3. Вывод:
Исходя из расчетов длин сторон и уравнений прямых, мы видим, что все стороны ромба равны между собой и противоположные стороны параллельны. Поэтому можем с уверенностью сказать, что авсd является ромбом.