Какова высота цилиндра, если его радиус основания равен r и в него наклонно к оси вписан квадрат со стороной a

Yaschik

47

Данная задача представляет собой поиск высоты цилиндра, в котором вписан наклонно к оси квадрат. Основное наблюдение, которое поможет решить задачу, заключается в том, что диагонали этого квадрата будут равны радиусам его оснований.

Для начала, обозначим через H и S высоту и площадь цилиндра соответственно. Также пусть r будет радиусом основания цилиндра, а a - стороной вписанного квадрата.

Затем найдем площадь круговых оснований цилиндра. Так как радиус основания цилиндра равен r, площадь одного кругового основания будет \(\pi r^2\). Таким образом, площадь двух оснований равна \(2\pi r^2\).

Далее, найдем площадь боковой поверхности цилиндра. Она равна произведению окружности основания, то есть 2\(\pi r\), на его высоту, то есть H. Таким образом, площадь боковой поверхности равна \(2\pi rH\).

Итак, общая площадь поверхности цилиндра S равна сумме площадей двух оснований и площади боковой поверхности:

\[S = 2\pi r^2 + 2\pi rH.\]

Заметим, что наше условие гласит, что вершины квадрата лежат на окружностях оснований цилиндра. Таким образом, диагонали этого квадрата равны диаметрам окружностей. Рассмотрим одно из таких оснований и проведем диагональ квадрата. Получится прямоугольный треугольник, у которого диагональ квадрата - это гипотенуза, а радиус основания - это половина катета. Используя теорему Пифагора, можем записать:

\[r^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2.\]

Упростив это уравнение, получаем:

\[r^2 + \frac{a^2}{4} = \frac{a^2}{4}.\]

Отсюда получаем выражение для радиуса основания через сторону вписанного квадрата:

\[r^2 = 0.\]

Заменяем в уравнении для площади основания цилиндра:

\[S = 2\pi r^2 + 2\pi rH.\]

Таким образом, получаем,

\[S = 2\pi 0 + 2\pi rH = 2\pi rH.\]

Поскольку площадь боковой поверхности цилиндра равна \(2\pi rH\), то общая площадь поверхности цилиндра также равна \(S = 2\pi rH\). Таким образом, высота цилиндра H равна

\[H = \frac{S}{2\pi r}.\]

Итак, получаем ответ: высота цилиндра, в котором наклонно к оси вписан квадрат со стороной a и вершинами на окружностях оснований, равна

\[H = \frac{S}{2\pi r}.\]