Какова высота цилиндра, если его радиус основания составляет 6 см, а диагональ его осевого сечения образует угол

Тарас

31

Для решения этой задачи, нам понадобится использовать геометрию, тригонометрию и свойства цилиндра.

Пусть \(r\) - радиус основания цилиндра, а \(h\) - его высота.

Мы знаем, что диагональ осевого сечения образует угол 60 градусов с плоскостью основания. Это означает, что отрезок, соединяющий центр основания с точкой пересечения диагонали и плоскости основания, образует угол 60 градусов с этой плоскостью.

Давайте введем дополнительные обозначения:
\(P\) - центр основания цилиндра,
\(A\) - точка пересечения диагонали и плоскости основания,
\(B\) - точка пересечения отрезка, соединяющего \(P\) и \(A\), с поверхностью цилиндра.

Так как \(PAB\) - прямоугольный треугольник, то \(\angle APB = 90^\circ\).

Кроме того, угол между диагональю и плоскостью основания равен 60 градусов. Рассмотрим треугольник \(APB\):
- Длина отрезка \(PA\) равна радиусу основания цилиндра и равна \(r\).
- Длина отрезка \(AB\) равна радиусу основания цилиндра и неизвестной высоте цилиндра.
- Угол \(\angle BAP\) между отрезками \(PA\) и \(AB\) равен 60 градусов.

Мы можем использовать тригонометрию, чтобы найти отношение между сторонами и углами треугольника \(APB\).
В здесь используется теорема синусов: \(\frac{AB}{PA} = \frac{\sin(\angle BAP)}{\sin(90^\circ)}\).
Так как \(\sin(90^\circ) = 1\), у нас остается \(\frac{AB}{PA} = \sin(\angle BAP)\).

Применим эту формулу, зная, что угол \(\angle BAP\) равен 60 градусов:
\(\frac{AB}{r} = \sin(60^\circ)\).

Угол 60 градусов соответствует известному значению тригонометрической функции: \(\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

Теперь, можем решить эту формулу относительно \(AB\):
\(AB = r \cdot \sin(60^\circ) = r \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\).

Таким образом, мы найдем длину отрезка \(AB\) через радиус основания \(r\) цилиндра. Теперь, нам осталось найти высоту цилиндра \(h\).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(PAB\). Он содержит отрезок \(AB\) и высоту цилиндра \(h\) как стороны. Сторона \(AB\) равна \(r \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\), а сторона \(AP\) равна \(r\).

Мы можем использовать теорему Пифагора для этого треугольника:
\[h^2 = (r \cdot \frac{\sqrt{3}}{2})^2 - r^2\].

Выполняя вычисления, упрощая выражение и учитывая, что \(r^2\) сократится, получим:
\[h^2 = \frac{3r^2}{4} - r^2 = \frac{r^2}{4}\].

Чтобы найти высоту \(h\), возьмем квадратный корень на обеих сторонах уравнения:
\[h = \sqrt{\frac{r^2}{4}} = \frac{r}{2}\].

Таким образом, мы нашли, что высота цилиндра равна половине радиуса основания. В данном случае, радиус основания составляет 6 см, поэтому высота цилиндра будет равна 3 см.