Какова высота цилиндра, в который вписан конус с радиусом основания 39 см и высотой 52 см, при условии, что боковая

Solnechnaya_Zvezda

68

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать геометрические свойства цилиндров и конусов.

Пусть \( R \) - радиус основания большого конуса, \( H \) - высота цилиндра, в который вписан этот конус, \( r \) - радиус основания малого конуса, установленного на верхней основе цилиндра.

Для начала, найдем радиус большого конуса. Мы знаем, что радиус большого конуса равен радиусу его верхней основы, который равен 39 см.

Теперь рассмотрим боковую поверхность цилиндра. Мы знаем, что боковая поверхность цилиндра равна боковой поверхности малого конуса. Формула для площади боковой поверхности конуса:
\[ S_{конуса} = \pi \cdot r \cdot l, \]
где \( l \) - образующая конуса.

Поскольку высота цилиндра равна образующей конуса (это свойство вписанного конуса), мы получаем:
\[ S_{бок} = \pi \cdot r \cdot H. \]

Теперь возьмем формулу для площади боковой поверхности цилиндра:
\[ S_{бок} = 2 \pi \cdot R \cdot H. \]

Приравняв две формулы, получим:
\[ \pi \cdot r \cdot H = 2 \pi \cdot R \cdot H. \]

Теперь сократим общую переменную \( H \) с обеих сторон:
\[ \pi \cdot r = 2 \pi \cdot R. \]

Остается выразить радиус малого конуса \( r \):
\[ r = 2R. \]

Из условия задачи, радиус большого конуса \( R \) равен 39 см, следовательно:
\[ r = 2 \cdot 39 = 78 \text{ см}. \]

Таким образом, радиус малого конуса \( r \) равен 78 см.

Для определения высоты цилиндра \( H \) мы можем использовать теорему Пифагора. По теореме Пифагора для треугольника, образованного основанием малого конуса, его высотой и образующей, имеем:
\[ H^2 = r^2 - (R-r)^2. \]

Подставляя значения:
\[ H^2 = 78^2 - (39-78)^2, \]
\[ H^2 = 6084 - 1521, \]
\[ H^2 = 4563, \]
\[ H \approx 67,63 \text{ см}. \]

Таким образом, высота цилиндра, в который вписан конус, составляет приблизительно 67,63 см.