Какова высота деревушки на боливийском плато, при которой плотность воздуха вдвое меньше плотности на уровне моря?

Тимур

21

Для решения данной задачи нам необходимо использовать закон изменения плотности воздуха с высотой в условиях, когда температура воздуха постоянна. Известно, что плотность воздуха убывает с увеличением высоты.

Для начала воспользуемся формулой для плотности воздуха на уровне моря ${\rho }_0$:

$${\rho }_0=\frac{P_0}{R\cdot T_0}$$

где $P_0$ - атмосферное давление на уровне моря, $R$ - универсальная газовая постоянная, $T_0$ - температура воздуха на уровне моря.

Теперь рассмотрим высоту $h$ над уровнем моря, на которой плотность воздуха уменьшилась вдвое. Обозначим эту новую плотность как ${\rho }_1$.

Тогда плотность воздуха на высоте $h$ будет равна:

$${\rho }_1=\frac{P_1}{R\cdot T_0}$$

где $P_1$ - атмосферное давление на высоте $h$.

Учитывая, что плотность воздуха на высоте $h$ уменьшилась вдвое, получаем:

$${\rho }_1=\frac{1}{2}{\rho }_0$$

Также известно, что атмосферное давление убывает экспоненциально с увеличением высоты по закону Барометра:

$$P_1=P_0\cdot e^{-\frac{h}{H}}$$

где $H$ - шкала высот, называемая постоянной масштаба атмосферы.

Подставляя полученные выражения в уравнение для ${\rho }_1$, получаем:

$$\frac{1}{2}{\rho }_0=\frac{P_1}{R\cdot T_0}$$
$$\frac{1}{2}{\rho }_0=\frac{P_0\cdot e^{-\frac{h}{H}}}{R\cdot T_0}$$

Перегруппируем уравнение, чтобы выразить высоту $h$:

$$\frac{1}{2}=e^{-\frac{h}{H}}$$

Взяв натуральный логарифм от обеих сторон, получим:

$$\ln \frac{1}{2}=-\frac{h}{H}$$
$$\ln 2=\frac{h}{H}$$

Теперь выразим высоту $h$:

$$h=H\cdot \ln 2$$

Таким образом, чтобы плотность воздуха на боливийском плато была уменьшена вдвое, высота деревушки должна быть равна $H\cdot \ln 2$.

Окончательный ответ: Высота деревушки на боливийском плато, при которой плотность воздуха вдвое меньше плотности на уровне моря, равна $H\cdot \ln 2$, где $H$ - шкала высот атмосферы.