Какова высота деревушки на боливийском плато, при которой плотность воздуха вдвое меньше плотности на уровне моря?

Тимур

21

Для решения данной задачи нам необходимо использовать закон изменения плотности воздуха с высотой в условиях, когда температура воздуха постоянна. Известно, что плотность воздуха убывает с увеличением высоты.

Для начала воспользуемся формулой для плотности воздуха на уровне моря \(\rho_0\):

\[ \rho_0 = \frac{P_0}{R \cdot T_0} \]

где \(P_0\) - атмосферное давление на уровне моря, \(R\) - универсальная газовая постоянная, \(T_0\) - температура воздуха на уровне моря.

Теперь рассмотрим высоту \(h\) над уровнем моря, на которой плотность воздуха уменьшилась вдвое. Обозначим эту новую плотность как \(\rho_1\).

Тогда плотность воздуха на высоте \(h\) будет равна:

\[ \rho_1 = \frac{P_1}{R \cdot T_0} \]

где \(P_1\) - атмосферное давление на высоте \(h\).

Учитывая, что плотность воздуха на высоте \(h\) уменьшилась вдвое, получаем:

\[ \rho_1 = \frac{1}{2} \rho_0 \]

Также известно, что атмосферное давление убывает экспоненциально с увеличением высоты по закону Барометра:

\[ P_1 = P_0 \cdot e^{-\frac{h}{H}} \]

где \(H\) - шкала высот, называемая постоянной масштаба атмосферы.

Подставляя полученные выражения в уравнение для \(\rho_1\), получаем:

\[ \frac{1}{2} \rho_0 = \frac{P_1}{R \cdot T_0} \]
\[ \frac{1}{2} \rho_0 = \frac{P_0 \cdot e^{-\frac{h}{H}}}{R \cdot T_0} \]

Перегруппируем уравнение, чтобы выразить высоту \(h\):

\[ \frac{1}{2} = e^{-\frac{h}{H}} \]

Взяв натуральный логарифм от обеих сторон, получим:

\[ \ln{\frac{1}{2}} = -\frac{h}{H} \]
\[ \ln{2} = \frac{h}{H} \]

Теперь выразим высоту \(h\):

\[ h = H \cdot \ln{2} \]

Таким образом, чтобы плотность воздуха на боливийском плато была уменьшена вдвое, высота деревушки должна быть равна \( H \cdot \ln{2} \).

Окончательный ответ: Высота деревушки на боливийском плато, при которой плотность воздуха вдвое меньше плотности на уровне моря, равна \( H \cdot \ln{2} \), где \(H\) - шкала высот атмосферы.