Какова высота основания правильной треугольной пирамиды, если известно, что расстояние от вершины основания

Борис

59

Чтобы найти высоту основания правильной треугольной пирамиды, у нас есть две информации: расстояние от вершины основания до плоскости боковой грани и синус угла между боковой гранью и основанием пирамиды.

Для начала, обозначим высоту пирамиды как \(h\) и длину одной стороны основания как \(a\).

Первая информация говорит нам, что расстояние от вершины основания до плоскости боковой грани равно 4. Это значит, что сегмент, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, имеет длину 4. Обозначим этот сегмент как \(d\).

Так как основание пирамиды является правильным треугольником, то можно применить теорему Пифагора в треугольнике, образованном сторонами основания и сегментом \(d\):

\[\begin{align*}
a^2 &= \left(\frac{a}{2}\right)^2 + d^2 \quad \text{(Теорема Пифагора)} \\
a^2 &= \frac{a^2}{4} + d^2 \\
\frac{3}{4}a^2 &= d^2 \quad \text{(Упрощение)}
\end{align*}\]

Так как треугольная пирамида является правильной, все ее боковые грани равносторонние и равны по длине основанию, следовательно, у треугольника, образованного высотой пирамиды, сторона равна \(\frac{a}{2}\).

Используя синус угла между боковой гранью и основанием пирамиды, который равен 0,4, мы можем записать следующее:

\[\sin(\angle A) = \frac{h}{\frac{a}{2}} = 0,4\]

Решим это уравнение относительно \(h\):

\[\begin{align*}
h &= 0,4 \cdot \frac{a}{2} \\
h &= 0,2a
\end{align*}\]

Таким образом, мы получили, что \(h = 0,2a\).

Мы также имеем уравнение \(d = \frac{\sqrt{3}}{2}a\), полученное из теоремы Пифагора.

Теперь мы можем связать все эти данные.

Из уравнения \(h = 0,2a\) мы можем получить, что \(a = \frac{h}{0,2}\).

Подставим это значение в уравнение \(d = \frac{\sqrt{3}}{2}a\):

\[\frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \left(\frac{h}{0,2}\right)\]

Упростим выражение:

\[d = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{5h}{h} = \frac{5\sqrt{3}}{2}\]

Таким образом, мы получаем, что \(d = \frac{5\sqrt{3}}{2}\) и \(h = 0,2a\).

Окончательный ответ:

Высота основания правильной треугольной пирамиды равна \(h = 0,2a\), где \(a\) - длина стороны основания, а \(d\) - расстояние от вершины основания до плоскости боковой грани, не содержащей эту вершину, равно \(d = \frac{5\sqrt{3}}{2}\).