Какова высота правильного тетраэдра с ребром 10 см? Дано: ABCД – правильный тетраэдр, AВ = 10 см. Что нужно найти?

Зинаида

63

Для решения данной задачи рассмотрим правильный тетраэдр ABCD, где AB = 10 см.

1) Поскольку точка F является серединой стороны AB, отрезок BF будет медианой треугольника ABC. Для определения высоты тетраэдра, можно найти расстояние от вершины A до плоскости BCD, которое является высотой треугольника ABC.

2) Рассмотрим треугольник ABF. Применяя теорему Пифагора, получим:

\[AF^2 = AB^2 - BF^2\]

Подставив значения, получим:

\[AF^2 = 10^2 - (\frac{1}{2} AB)^2\]

\[AF^2 = 100 - (\frac{1}{2} \times 10)^2\]

\[AF^2 = 100 - 25\]

\[AF^2 = 75\]

\[AF = \sqrt{75}\]

3) Отрезок AF делит отрезок AO в соотношении 2:1. Это означает, что длина отрезка AO в 2 раза больше, чем длина отрезка AF. Таким образом:

\[AO = 2 \cdot AF\]

\[AO = 2 \cdot \sqrt{75}\]

\[AO = 2 \sqrt{25 \cdot 3}\]

\[AO = 2 \cdot 5 \sqrt{3}\]

\[AO = 10 \sqrt{3}\]

4) Теперь осталось найти высоту тетраэдра. Рассмотрим треугольник ADO. Применяя теорему Пифагора, получим:

\[DO^2 = AO^2 - AD^2\]

Подставив значения, получим:

\[DO^2 = (10 \sqrt{3})^2 - 10^2\]

\[DO^2 = 300 - 100\]

\[DO^2 = 200\]

\[DO = \sqrt{200}\]

\[DO = 10 \sqrt{2}\]

Таким образом, высота правильного тетраэдра ABCD с ребром 10 см равна \(10 \sqrt{2}\) см.