Какова высота правильной четырехугольной призмы, если площадь ее боковой поверхности составляет 96 см2, а площадь

Zhuravl

53

Чтобы найти высоту правильной четырехугольной призмы, нам понадобится использовать формулы для нахождения боковой поверхности и полной поверхности призмы. Давайте начнем с боковой поверхности.

Боковая поверхность призмы определяется формулой: \( П_{бок} = p \cdot h \), где \( p \) - периметр основания призмы, а \( h \) - высота призмы.

Поскольку у нас правильная четырехугольная призма, у которой основаниями являются квадраты, периметр основания будет равен четырем сторонам квадрата. То есть \( p = 4a \), где \( a \) - длина стороны квадрата.

Теперь мы можем переписать формулу для боковой поверхности следующим образом: \( П_{бок} = 4a \cdot h \) (формула 1).

Теперь перейдем к формуле для полной поверхности призмы. Полная поверхность состоит из боковой поверхности и двух оснований.

Площадь боковой поверхности мы уже знаем - она составляет 96 см2. То есть \( П_{бок} = 96 \) (формула 2).

Площадь полной поверхности призмы определяется формулой: \( П_{пол} = 2 \cdot П_{осн} + П_{бок} \), где \( П_{осн} \) - площадь основания призмы.

У нас квадратные основания, поэтому площадь основания будет вычисляться по формуле: \( П_{осн} = a^2 \), где \( a \) - длина стороны квадрата.

Подставляем известные значения в формулу для полной поверхности: \( 128 = 2 \cdot a^2 + 96 \) (формула 3).

Теперь у нас есть система уравнений: формула 1 и формула 3. Из формулы 1 мы можем выразить высоту призмы через длину стороны квадрата: \( h = \frac{96}{4a} \). Подставляем это значение в формулу 3 и решаем уравнение:

\( 128 = 2 \cdot a^2 + 96 \)
\( 32 = 2 \cdot a^2 \)
\( a^2 = 16 \)
\( a = 4 \)

Теперь, зная значение длины стороны квадрата \( a = 4 \), мы можем найти высоту призмы по формуле: \( h = \frac{96}{4 \cdot 4} = 6 \) см.

Итак, высота данной четырехугольной призмы равна 6 см.