Какова высота прямой треугольной призмы, если стороны ее основания равны 5 см, 12 см и 13 см, а площадь ее полной

Загадочная_Луна

9

Чтобы найти высоту прямой треугольной призмы, мы можем использовать формулу для площади поверхности призмы и объема призмы. Начнем с формулы для площади поверхности:

\[P = 2A + Ph\]

где \(P\) - площадь поверхности, \(A\) - площадь основания, \(P\) - периметр основания, и \(h\) - высота. У нас уже есть площадь поверхности \(P = 270\), и стороны основания равны 5 см, 12 см и 13 см.

Чтобы найти периметр основания, сложим длины всех сторон:
\(P = 5 + 12 + 13 = 30\)

Подставим известные значения в формулу площади поверхности:
\(270 = 2A + 30h\)

Теперь нам нужно найти площадь основания \(A\). Для треугольника площадь можно найти, используя формулу Герона:

\[A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\]

где \(a\), \(b\) и \(c\) - стороны треугольника, а \(s\) - полупериметр треугольника, определяемый как половина суммы всех сторон треугольника:

\[s = \frac{{a + b + c}}{2}\]

Подставим значения сторон основания и вычислим площадь основания \(A\):

\[s = \frac{{5 + 12 + 13}}{2} = 15\]
\[A = \sqrt{15(15-5)(15-12)(15-13)} = \sqrt{15 \times 10 \times 3 \times 2} = \sqrt{900} = 30\]

Теперь подставим известные значения в уравнение площади поверхности и решим его относительно высоты \(h\):

\[270 = 2 \times 30 + 30h\]
\[240 = 30h\]
\[h = \frac{240}{30} = 8\]

Таким образом, высота прямой треугольной призмы равна 8 см.