Какова высота ромба соответствующего заданным условиям, если известно, что длины его диагоналей относятся друг к другу

Анжела

31

Чтобы найти высоту ромба, соответствующую заданным условиям, мы можем использовать следующий подход.

Пусть \(d_1\) и \(d_2\) - длины диагоналей ромба, которые относятся друг к другу как 3:4. Пусть \(h\) - высота ромба.

Ромб можно разбить на два треугольника, путем проведения диагоналей. Таким образом, площадь ромба можно выразить через площадь этих двух треугольников.

Площадь треугольника можно найти, используя следующую формулу:

\[
S = \frac{1}{2} \times a \times h
\]

где \(S\) - площадь треугольника, \(a\) - длина одной стороны треугольника, \(h\) - высота треугольника.

Так как ромб имеет равные диагонали, то поделив площадь ромба на два, мы получим площадь одного треугольника. То есть

\[
S_{\text{треу}} = \frac{1}{2} \times \frac{d_1 \times d_2}{2}
\]

Так как площадь ромба известна и равна 96 квадратных сантиметров, мы можем записать:

\[
96 = \frac{1}{2} \times \frac{d_1 \times d_2}{2}
\]

Учитывая, что \(d_1\) и \(d_2\) относятся друг к другу как 3:4, мы можем представить \(d_1\) через \(d_2\):

\[
d_1 = \frac{3}{4} \times d_2
\]

Подставим это выражение в предыдущее уравнение:

\[
96 = \frac{1}{2} \times \frac{\left(\frac{3}{4} \times d_2\right) \times d_2}{2}
\]

Разрешим данное уравнение:

\[
96 = \frac{1}{2} \times \frac{3}{4} \times \frac{d_2^2}{2}
\]

\[
384 = \frac{3}{4} \times \frac{d_2^2}{2}
\]

\[
768 = \frac{3}{4} \times d_2^2
\]

Умножим обе части уравнения на \(\frac{4}{3}\):

\[
1024 = d_2^2
\]

\[
d_2 = \sqrt{1024}
\]

\[
d_2 = 32\text{ см}
\]

Теперь мы можем найти \(d_1\), используя отношение между \(d_1\) и \(d_2\):

\[
d_1 = \frac{3}{4} \times d_2
\]

\[
d_1 = \frac{3}{4} \times 32
\]

\[
d_1 = 24\text{ см}
\]

Теперь, чтобы найти высоту \(h\), мы можем использовать формулу для площади ромба и диагональ \(d_1\):

\[
S = \frac{1}{2} \times d_1 \times h
\]

Подставим известные значения:

\[
96 = \frac{1}{2} \times 24 \times h
\]

Разрешим это уравнение:

\[
48 = 24 \times h
\]

\[
h = \frac{48}{24}
\]

\[
h = 2\text{ см}
\]

Таким образом, высота ромба, соответствующая заданным условиям, равна 2 сантиметра.