Какова высота столба ртути в опыте Торричелли на вершине горы, если давление воздуха в этой точке вдвое ниже

Радужный_Мир

43

Для решения этой задачи нам потребуется знание закона Бойля-Мариотта, который связывает давление газа и его объем при постоянной температуре. Формулировка закона Бойля-Мариотта: при постоянной температуре объем газа обратно пропорционален его давлению. Это можно записать в виде формулы:

\[P_1 \cdot V_1 = P_2 \cdot V_2\]

Где \(P_1\) и \(P_2\) - давление газа в начальной и конечной точках соответственно, \(V_1\) и \(V_2\) - объемы газа в начальной и конечной точках соответственно.

В этой задаче мы хотим найти высоту столба ртути в опыте Торричелли на вершине горы, при условии, что давление воздуха в этой точке вдвое ниже нормального атмосферного давления. Мы можем предположить, что нормальное атмосферное давление соответствует стандартному давлению 760 мм ртутного столба.

Пусть \(P_{\text{нач}}\) - нормальное атмосферное давление, \(P_{\text{кон}}\) - давление воздуха на вершине горы, \(V_{\text{нач}}\) - объем газа в начальной точке (на уровне моря), \(V_{\text{кон}}\) - объем газа в конечной точке (на вершине горы), \(H\) - высота столба ртути на вершине горы.

Исходя из задания, значение \(P_{\text{кон}}\) равно половине нормального атмосферного давления, то есть \(P_{\text{кон}} = \frac{{P_{\text{нач}}}}{2}\). Мы знаем, что \(P_{\text{нач}} = 760\) мм ртутного столба.

Тогда мы можем записать уравнение на основе закона Бойля-Мариотта:

\[P_{\text{нач}} \cdot V_{\text{нач}} = P_{\text{кон}} \cdot V_{\text{кон}}\]

Разделим обе части уравнения на \(P_{\text{нач}}\):

\[V_{\text{нач}} = \frac{{P_{\text{кон}} \cdot V_{\text{кон}}}}{{P_{\text{нач}}}}\]

Подставим известные значения:

\[V_{\text{нач}} = \frac{{\frac{{P_{\text{нач}}}}{2} \cdot V_{\text{кон}}}}{{P_{\text{нач}}}}\]

\[V_{\text{нач}} = \frac{{V_{\text{кон}}}}{2}\]

Так как объем газа на вершине горы (\(V_{\text{кон}}\)) мы не знаем, решим уравнение, изолируя эту переменную.

\[V_{\text{кон}} = 2 \cdot V_{\text{нач}}\]

Теперь, чтобы найти высоту столба ртути (\(H\)), мы можем воспользоваться зависимостью между давлением и высотой ртути в столбе. Эта зависимость может быть приближенно выражена формулой:

\[P = P_0 \cdot (1 - \frac{{h \cdot \rho_{\text{рт}} \cdot g_{\text{зем}}}}{{P_{\text{ад}}}})\]

Где \(P\) - давление на высоте \(h\), \(P_0\) - нормальное атмосферное давление, \(h\) - высота ртути, \(\rho_{\text{рт}}\) - плотность ртути, \(g_{\text{зем}}\) - ускорение свободного падения, \(P_{\text{ад}}\) - атмосферное давление в точке, где измеряется высота ртути.

В нашем случае \(P = P_{\text{кон}}\) и \(P_{\text{ад}} = P_{\text{нач}}\), и мы хотим найти \(h\).

Подставим известные значения:

\[P_{\text{кон}} = P_{\text{нач}} \cdot (1 - \frac{{h \cdot \rho_{\text{рт}} \cdot g_{\text{зем}}}}{{P_{\text{нач}}}})\]

Так как \(P_{\text{нач}} = 760\) мм ртутного столба, упростим уравнение:

\[\frac{{P_{\text{кон}}}}{{P_{\text{нач}}}} = 1 - \frac{{h \cdot \rho_{\text{рт}} \cdot g_{\text{зем}}}}{{P_{\text{нач}}}}\]

\[\frac{{P_{\text{кон}}}}{{P_{\text{нач}}}} = 1 - \frac{{h \cdot \rho_{\text{рт}} \cdot g_{\text{зем}}}}{{760}}\]

Теперь изолируем переменную \(h\):

\[\frac{{h \cdot \rho_{\text{рт}} \cdot g_{\text{зем}}}}{{760}} = 1 - \frac{{P_{\text{кон}}}}{{P_{\text{нач}}}}\]

\[h \cdot \rho_{\text{рт}} \cdot g_{\text{зем}} = 760 - \frac{{760 \cdot P_{\text{кон}}}}{{P_{\text{нач}}}}\]

\[h = \frac{{760 - \frac{{760 \cdot P_{\text{кон}}}}{{P_{\text{нач}}}}}}{{\rho_{\text{рт}} \cdot g_{\text{зем}}}}\]

Для нахождения высоты ртути нам необходимо знать плотность ртути (\(\rho_{\text{рт}}\)) и ускорение свободного падения (\(g_{\text{зем}}\)). Оценим плотность ртути как \(\rho_{\text{рт}} = 13.6\) г/см\(^3\), а ускорение свободного падения как \(g_{\text{зем}} = 9.8\) м/с\(^2\).

Подставим известные значения:

\[h = \frac{{760 - \frac{{760 \cdot P_{\text{кон}}}}{{P_{\text{нач}}}}}}{{13.6 \cdot 9.8}}\]

Теперь можем рассчитать значение \(h\):

\[h = \frac{{760 - \frac{{760 \cdot \frac{{P_{\text{нач}}}}{2}}}{{P_{\text{нач}}}}}}{{13.6 \cdot 9.8}}\]

\[h = \frac{{760 - \frac{{760}}{{2}}}}{{13.6 \cdot 9.8}}\]

\[h = \frac{{760 - 380}}{{13.6 \cdot 9.8}}\]

\[h \approx \frac{{380}}{{13.6 \cdot 9.8}} \approx 2.71\]

Таким образом, высота столба ртути в опыте Торричелли на вершине горы составляет примерно 2.71 м.