Какова высота треугольной пирамиды, если ее апофема равна 2 см и наклонена к плоскости основания под углом 30 градусов?

Skolzyaschiy_Tigr_3596

48

Чтобы найти высоту треугольной пирамиды, нам понадобятся знание ее апофемы и угла наклона к плоскости основания. Давайте начнем с того, что разберемся с терминами.

Апофема это расстояние от центра основания пирамиды до любой ее боковой грани. В данном случае, апофема равна 2 см.

Угол наклона к плоскости основания указывает на то, насколько пирамида наклонена относительно этой плоскости. В нашем случае, угол наклона равен 30 градусам.

Чтобы найти высоту пирамиды, мы можем воспользоваться формулой для вычисления высоты треугольной пирамиды:

\[h = \sqrt{l^2 - r^2}\]

где
\(h\) - высота пирамиды,
\(l\) - полуоснование пирамиды (равно длине стороны треугольника основания),
\(r\) - радиус окружности, вписанной в основание треугольника (равно апофеме пирамиды).

Однако, в данной задаче у нас нет значений стороны треугольника основания, поэтому мы не можем использовать данную формулу напрямую. Вместо этого, мы можем воспользоваться треугольником, образованным в плоскости основания пирамиды.

Давайте представим себе такой треугольник:

    /|\

   / | \

r /  |  \ a

 /___|___\

   b

Здесь \(r\) - радиус окружности, вписанной в треугольник, \(a\) - апофема пирамиды, \(b\) - половина длины стороны треугольника основания.

Так как у нас известен радиус \(r\) и угол наклона, мы можем воспользоваться геометрическими соотношениями и найти значения сторон треугольника основания.

Между треугольником в плоскости основания и треугольником, образованным в пирамиде, имеется подобие, поэтому все соотношения между их сторонами будут сохраняться.

Используя свойства треугольника, мы можем вычислить длину стороны треугольника основания (\(b\)):

\[\tan(30^\circ) = \frac{a}{b}\]

\[\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2}{b}\]

\[b = 2\sqrt{3}\]

Теперь, когда у нас есть значение \(b\) (половина длины стороны треугольника основания), мы можем подставить его в формулу для вычисления высоты пирамиды и решить уравнение:

\[h = \sqrt{(2b)^2 - r^2}\]

\[h = \sqrt{4(2\sqrt{3})^2 - 2^2}\]

\[h = \sqrt{16 \cdot 3 - 4}\]

\[h = \sqrt{44}\]

\[h \approx 6.63\]

Таким образом, высота треугольной пирамиды составляет приблизительно 6.63 см.