Яке значення мають катети прямокутного трикутника, якщо гіпотенуза дорівнює 4 дм, а один з гострих кутів дорівнює 45°?

Milashka_7199

23

Для розв"язання даної задачі ми можемо скористатися трьома фундаментальними властивостями прямокутного трикутника: теоремою Піфагора, тангенсом та властивістю синуса.

1) Застосуємо теорему Піфагора. Згідно з нею, сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи. Оскільки ми знаємо, що гіпотенуза дорівнює 4 дм, ми можемо записати це у вигляді рівняння:
\[a^2 + b^2 = c^2\]
де \(a\) і \(b\) - катети, \(c\) - гіпотенуза (4 дм).

2) Врахуємо, що один з гострих кутів трикутника дорівнює 45°. Подібно прямокутним трикутникам з відомими кутами (30°, 45° та 60°), ми можемо скористатися співвідношеннями сторін. В даному випадку, оскільки ми шукаємо значення катетів, уже знаючи гіпотенузу, будемо враховувати властивісті трикутника з кутом 45°. Ця властивість полягає в тому, що обидва катети мають однакову довжину. Тому, якщо позначити значення катетів як \(a\), ми отримаємо:
\[a^2 + a^2 = c^2\]

3) Підставимо вирази для \(a\) і \(c\) відповідно:
\[2a^2 = 4^2\]

4) Розв"яжемо це рівняння:
\[2a^2 = 16\]
\[a^2 = \frac{16}{2}\]
\[a^2 = 8\]
\[a = \sqrt{8}\]
\[a \approx 2.83 \, \text{дм}\]

Отже, катети прямокутного трикутника дорівнюють близько 2.83 дм кожен, коли гіпотенуза становить 4 дм.