Какова высота треугольной пирамиды, у которой апофема равна 10 см и наклонена к плоскости основания под углом

Kaplya

21

Чтобы найти высоту треугольной пирамиды, нам понадобится использовать две величины: апофему и угол наклона к плоскости основания.

Апофема — это расстояние от вершины пирамиды до центра основания. В данном случае, апофема равна 10 см.

Угол наклона к плоскости основания составляет 45 градусов.

Нужно обратиться к геометрическим свойствам треугольной пирамиды. Если мы проведем высоту из вершины до основания, то она будет перпендикулярна плоскости основания и разделит исходный треугольник на два прямоугольных треугольника.

Поэтому мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти высоту.

Теорема Пифагора гласит: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

В нашем случае, гипотенуза — это апофема, а катеты будут составлять высоту и половину основания треугольника.

Таким образом, мы можем записать уравнение по теореме Пифагора:

\[ \text{апофема}^2 = \text{высота}^2 + \left(\frac{\text{основание}}{2}\right)^2 \]

Подставляя данные в уравнение, получим:

\[ 10^2 = \text{высота}^2 + \left(\frac{\text{основание}}{2}\right)^2 \]

Теперь осталось найти только одну неизвестную - высоту треугольной пирамиды.

Обратимся к тому факту, что данный треугольник составляет прямоугольный треугольник с углом наклона 45 градусов. Это означает, что два катета будут иметь одинаковую длину, то есть половину длины основания.

Таким образом, \(\text{основание} = 2 \times \frac{\text{апофема}}{\sqrt{2}}\).

Подставляя значение основания в уравнение, получим:

\[ 10^2 = \text{высота}^2 + \left(\frac{2 \times \frac{\text{апофема}}{\sqrt{2}}}{2}\right)^2 \]

Упростим это уравнение:

\[ 100 = \text{высота}^2 + \left(\frac{\text{апофема}}{\sqrt{2}}\right)^2 \]

Теперь решим его, выразив высоту:

\[ \text{высота}^2 = 100 - \left(\frac{\text{апофема}}{\sqrt{2}}\right)^2 \]

\[ \text{высота} = \sqrt{100 - \left(\frac{\text{апофема}}{\sqrt{2}}\right)^2} \]

Выполним вычисления:

\[ \text{высота} = \sqrt{100 - \left(\frac{10}{\sqrt{2}}\right)^2} = \sqrt{100 - \left(\frac{10}{\sqrt{2}}\right)^2} = \sqrt{100 - \frac{100}{2}} = \sqrt{100 - 50} = \sqrt{50} \approx 7.071 \, \text{см} \]

Таким образом, высота треугольной пирамиды равна примерно 7.071 см.