Каково частное решение дифференциального уравнения изменения заряда в колебательном контуре, если его значение

Александрович

13

\[C = 10 \, \text{мкФ}\]и ёмкость колебательного контура равна \[C = \frac{1}{LC}\], где \[L\] - индуктивность контура.

Для получения решения дифференциального уравнения изменения заряда в колебательном контуре, мы должны использовать закон Ома \(I = \frac{dQ}{dt}\), где \(I\) - ток, проходящий через контур, а \(Q\) - заряд в контуре.

Изначально, в момент времени \(t = 0\), заряд равен 7 Кл, а ток равен 0. Используя эти данные, мы можем записать начальные условия в виде \[Q(0) = 7\] и \[I(0) = 0\].

Для решения дифференциального уравнения, нам потребуется ввести переменные замены. Обозначим \(\frac{dQ}{dt}\) как \(I\), и выразим заряд \(Q\) через ток \(I\). Тогда, учитывая, что \(\frac{dI}{dt} = \frac{d^2Q}{dt^2}\), дифференциальное уравнение можно записать в виде \[L\frac{dI}{dt} + \frac{1}{C}I = 0\].

Мы можем решить это уравнение, найдя частное решение. Предположим, что \(I\) - это экспоненциальная функция \(I(t) = ae^{kt}\), где \(a\) и \(k\) - неизвестные константы.

Подставим эту функцию в дифференциальное уравнение:

\[Lk ae^{kt} + \frac{1}{C}ae^{kt} = 0\]

Упростив выражение, получаем:

\[\left(Lk + \frac{1}{C}\right)ae^{kt} = 0\]

Поскольку экспоненциальная функция \(ae^{kt}\) никогда не равна нулю, для того чтобы выражение было равно нулю для любого значения времени \(t\), коэффициент \(Lk + \frac{1}{C}\) должен быть равен нулю. Таким образом, получаем уравнение:

\[Lk + \frac{1}{C} = 0\]

Из этого уравнения можно найти значение \(k\):

\[k = -\frac{1}{LC}\]

Теперь, используя полученное значение \(k\), найдем значение \(a\). Используя начальное условие \(I(0) = 0\), получаем:

\[I(0) = a \cdot e^{k \cdot 0} = a = 0\]

Таким образом, константа \(a\) равна нулю, и получаем частное решение дифференциального уравнения:

\[I(t) = 0\]

Теперь перейдем к определению амплитуды, периода и частоты колебаний. В колебательном контуре текущая амплитуда тока \(I\) зависит от времени \(t\) и может быть определена как максимальное значение тока.

Так как частное решение, полученное нами, является нулем, амплитуда колебаний в данном случае также равна нулю.

Частота колебаний определяется формулой \[f = \frac{1}{T}\], где \[f\] - частота, \[T\] - период колебаний.

Мы знаем, что \[T = \frac{2\pi}{\omega}\], где \[\omega\] - угловая частота, определяемая как \[\sqrt{\frac{1}{LC}}\].

Теперь мы можем выразить \[f\] через \[\omega\]:

\[f = \frac{1}{T} = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{\sqrt{\frac{1}{LC}}}{2\pi}\]

И наконец, чтобы найти величину индуктивности колебательного контура, мы можем использовать формулу \[C = \frac{1}{L\omega^2}\].

Подставив значение \[C = 10 \, \text{мкФ}\] и \[\omega = \sqrt{\frac{1}{LC}}\], мы найдем величину индуктивности:

\[10 \, \text{мкФ} = \frac{1}{L\left(\sqrt{\frac{1}{LC}}\right)^2}\]

Упрощая выражение, получаем:

\[10 \, \text{мкФ} = \frac{1}{L \cdot \frac{1}{LC}}\]

Мы можем сократить \[C\] с числом 1:

\[10 = L\]

Таким образом, величина индуктивности колебательного контура равна 10 Гн.